《2.1 变化的快慢与变化率》同步练习

《2.1变化的快慢与变化率》同步练习基础巩固一、选择题1．函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于(　　)A．f(x0＋Δx)　B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)[答案]　D[解析]　写出自变量x0和x0＋Δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量．2．若函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则等于(　　)A．4　　　　　　B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2[答案]　C[解析]　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝4Δx＋2Δx2，∴＝4＋2Δx.3．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3，3＋Δt)中，相应的平均速度为(　　)A．6＋ΔtB．6＋Δt＋C．3＋ΔtD．9＋Δt[答案]　A[解析]　∵Δs＝(3＋Δt)2＋3－32＝6Δt＋Δt2∴＝6＋Δt.二、填空题4．若物体运动方程为s(t)＝－2t2＋t，则其初速度为____．[答案]　1[解析]　物体的初速度即t＝0时的瞬时速度，＝＝－2Δ＋1，当Δt趋于0时，趋于1，即初速度为1.5．已知成本c与产量q的函数关系式为c＝4q2＋q－6，则当产量q＝10时的边际成本，(注：边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变化量)为________．[答案]　81 [解析]　Δc＝[4(10＋Δq)2＋(10＋Δq)－6]＝(4×102＋10－6)＝4(Δq)2＋81Δq，∴＝＝4Δq＋81.当Δq趋于0时，趋于81，即当产量q＝10时，边际成本为81.三、解答题6．已知质点M按规律s＝3t2＋2做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)．(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；(2)求质点M在t＝2时的瞬时速度．[解析]　＝＝＝6t＋3Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s.(2)当Δt趋于0时，6t＋3Δt趋于6t，∴质点M在t＝2时的瞬时速度为12cm/s.[点评]　本题重点是求质点M的瞬时速度，瞬时速度是根据一段时间内物体的平均速度的趋近值来定义的，因此只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度.能力提升一、选择题1．一质点的运动方程为s＝2t2，则此质点在时间[1，1＋Δt]内的平均速率为(　　)A．4＋ΔtB．2＋(Δt)2C．4Δt＋1D．4＋2Δt[答案]　D[解析]　＝＝4＋2Δt.2．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．不确定[答案]　A [解析]　k1＝＝＝2x0＋Δx，k2＝＝＝2x0－Δx.由题意知：Δx>0，∴k1>k2，选A.3．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积大约增加(　　)A.πR3ΔRB．4πR2ΔRC．4πR2D．4πRΔR[答案]　B[解析]　π(R＋ΔR)3－πR3＝π[R3＋3R2ΔR＋3R(ΔR)2＋(ΔR)3－R3]≈4πR2ΔR.故选B.4．以初速度为v0(v0>0)做竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0秒到t0＋Δt秒间的平均速度为(　　)A．v0－gt0－gΔtB．v0－gt0C．v0－gΔtD．gt0－gΔt[答案]　A[解析]　∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－v0t0＋gt＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，∴＝v0－gt0－gΔt.∴物体在t0秒到t0＋Δt秒间的平均速度为v0－gt0－gΔt.5．物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是(　　)A．在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D．在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度[答案]　C [解析]　在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同，在t0到t1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大．二、填空题6．一质点运动规律是s＝t2＋3(单位：s(m)，t(s))，则在t＝1秒时的瞬时速度估计是________m/s.[答案]　2[解析]　Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，∴＝＝2＋Δt，当Δt趋于0秒时，趋于2米/秒．7．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为：s＝t2，则t＝2时，此木块的瞬时速度为____________．[答案]　[解析]　＝＝t＋Δt.当t＝2，且Δt趋于0时，趋于.三、解答题8．已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率．[解析]　自变量x从1变到3时，函数f(x)的平均变化率为＝＝5，自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝4.[点评]　解决函数平均变化率的计算问题，要紧扣定义：函数f(x)当自变量x从x1变到x2时，函数值的平均变化为.此外，要保证计算过程的准确性．9．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数，s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1与Δt＝0.01时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．[分析]　用函数的平均变化率和瞬时变化率来求．[解析]　(1)因为Δs＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－(3×22＋2×2＋1)＝14Δt＋3Δt2，所以从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度为＝＝14＋3Δt. 当Δt＝1时，＝17；当Δt＝0.1时，＝14.3；当Δt＝0.01时，＝14.03.(2)当t＝2时的瞬时速度为v＝＝(14＋3Δt)＝14.10．质点M按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移s的单位：m，时间t的单位：s)．问是否存在常数a，使质点M在t＝2时的瞬时速度为8m/s？[解析]　假设存在常数a，则Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a×22－1＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1－4a－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝＝4a＋aΔt.当Δt趋于0时，4a＋aΔt趋于4a，4a＝8，解得a＝2.所以存在常数a＝2，使质点M在t＝2时的瞬时速度为8m/s.[点评]　对于是否存在的探究性问题，可先假设其存在，然后按瞬时速度的定义求解即可．