学案3 匀变速直线运动的位移与时间的关系[学习目标定位] 1.知道匀速直线运动的位移与v－t图象中矩形面积的对应关系．知道匀变速直线运动的位移与v－t图象中四边形面积的对应关系.2.理解位移公式的意义和导出过程.3.能运用位移公式、匀变速直线运动的v－t图象解决有关问题.4.掌握匀速直线运动x－t图象的特点，会用它解决简单的问题．一、匀速直线运动的位移1．位移公式：x＝vt.2．由v－t图象求位移：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．二、匀变速直线运动的位移1．位移在v－t图象中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线和t轴所包围的面积．如图1所示，在0～t时间内的位移大小等于加阴影的梯形的面积．图12．位移与时间的关系：x＝v0t＋at2，若初速度v0＝0，则x＝at2.
一、用v－t图象求位移[问题设计]某物体以5m/s的速度做匀速直线运动，求物体在8s内的位移．画出物体运动的v－t图象．物体的位移用v－t图象能反映出来吗？答案 40m．v－t图象如图所示．图象中的面积(图中阴影区域)表示物体的位移．[要点提炼]无论是匀速直线运动还是匀变速直线运动，物体在t时间内的位移都可以用v—t图象与t轴所包围的面积表示．1．当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同．2．当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反．二、匀变速直线运动的位移公式[问题设计]一个物体做匀变速直线运动，其运动的v－t
图象如图2所示．已知物体的初速度为v0，加速度为a，运动时间为t.请根据v－t图象和速度公式求出物体在t时间内的位移(即推导位移与时间的关系式)．图2答案 v－t图线下面梯形的面积表示位移S＝(＋)·把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成x＝(v0＋v)t①又因为v＝v0＋at②由①②式可得x＝v0t＋at2这就是匀变速直线运动的位移与时间的关系式．[要点提炼] 匀变速直线运动的位移与时间的关系：x＝v0t＋at2.1．两种特殊形式(1)当v0＝0时，x＝at2(物体由静止开始的匀加速直线运动)(2)当a＝0时，x＝v0t(物体做匀速直线运动)2．公式的矢量性公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．若选v0方向为正方向，则：
(1)物体加速，a取正值．(2)物体减速，a取负值．(3)若位移为正值，位移的方向与正方向相同．(4)若位移为负值，位移的方向与正方向相反．三、用x－t图象表示位移[问题设计] 一列火车沿直线轨道运动，图3描述了它关于出发点的位移随时间变化的情况．通过分析回答以下问题：图3(1)火车最远距离出发点多少米？(2)试分析火车各阶段的运动状态．答案 (1)90m.(2)火车在前2.5min内以0.6m/s(v＝＝0.6m/s)的速度做匀速直线运动，在2.5min到3min火车停在距出发点90m的位置．[要点提炼]1．由x－t图象可以知道：(1)物体在某一时刻所处的位置．(2)任何时间内的位移(大小和方向)，或发生一段位移所需要的时间．(3)物体某一时刻的速度．
2．两种常见运动的x－t图象(1)匀速直线运动的x－t图象为倾斜直线，斜率大小是恒定的，表示速度不变．(2)匀变速直线运动的x－t图象为抛物线(或抛物线的一部分)，斜率的大小是变化的，由斜率的变化情况可以得知速度的变化情况．一、x＝v0t＋at2的基本应用例1 一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝2m/s2，求：(1)第5s末物体的速度多大？(2)前4s的位移多大？(3)第4s内的位移多大？解析 (1)第5s末物体的速度由v＝v0＋at1得v1＝0＋2×5m/s＝10m/s(2)前4s的位移由x1＝v0t＋at2得x1＝0＋×2×42m＝16m(3)物体第3s末的速度v2＝v0＋at2＝0＋2×3m/s＝6m/s则第4s内的位移x2＝v2t3＋at＝6×1m＋×2×12m＝7m
答案 (1)10m/s (2)16m (3)7m二、利用v－t图象求物体的位移例2 图4是直升机由地面起飞的速度图象，试计算直升机能到达的最大高度及25s时直升机所在的高度是多少？图4解析 首先分析直升机的运动过程：0～5s直升机做匀加速运动；5s～15s直升机做匀速运动；15s～20s直升机做匀减速运动；20s～25s直升机做反向的匀加速运动．分析可知直升机所能到达的最大高度为题图中t轴上方梯形的面积，即S1＝600m．25s时直升机所在高度为S1与图线CE和t轴所围成的面积S△CED的差，即S2＝S1－S△CED＝(600－100)m＝500m.答案 600m 500m三、对x－t图象的认识例3 如图5所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知( )A．t＝0时，A在B的前面
B．B在t2时刻追上A，并在此后运动到A的前面图5C．B开始运动的速度比A小，t2时刻后才大于A的速度D．A运动的速度始终比B大解析 t＝0时，A在原点正方向x1位置处，B在原点处，A在B的前面，A对．t2时刻两图线相交，表示该时刻B追上A，并在此后运动到A的前面，B对．B开始运动的速度比A小，t1时刻后A静止，B仍然运动，C、D错．答案 AB四、刹车类问题例4 一辆汽车正在平直的公路上以72km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5m/s2，求：(1)开始制动后，前2s内汽车行驶的距离．(2)开始制动后，前5s内汽车行驶的距离．解析 汽车的初速度v0＝72km/h＝20m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5m/s2；汽车运动的总时间t＝＝＝4s.(1)因为t1＝2st，所以汽车5s时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42)m＝40m(注意：也可以用逆向思维法，即对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动．此题可以用如下解法：x2＝at2＝×5×42m＝40m)．答案 (1)30m (2)40m1.(位移与时间关系的应用)一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过的位移所用的时间为( )A. B. C. D.t答案 B解析 由位移公式得x＝at2，＝at′2，所以＝4，故t′＝
，B正确．2．(由v－t图象求位移)某物体运动的v－t图象如图6所示，根据图象可知，该物体( )图6A．在0到2s末的时间内，加速度为1m/s2B．在0到5s末的时间内，位移为10mC．第1s末与第3s末的速度方向相同D．第1s内与第5s内加速度方向相同答案 AC解析 在0到2s末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a＝＝m/s2＝1m/s2，故A正确.0到5s内物体的位移等于梯形面积x＝(×2×2＋2×2＋×1×2)m＝7m，故B错误．第1s末图象在时间轴上方，速度为正，第3s末速度图象也在时间轴上方，速度也为正，故方向相同，故C正确．第1s内图线的斜率为正值，加速度沿正方向，而第5s内图线的斜率为负值，加速度方向沿负方向，则第1s内与第5s内物体的加速度方向相反，故D错误．3．(对x－t图象的认识)甲、乙两位同学在放学时，
从学校所在地骑自行车沿平直的公路回家，先到乙同学家，休息一会，甲同学继续骑车前行，在70min时到家，甲同学的x－t图象如图7所示，下列说法正确的是( )图7A．在前20min内甲同学做匀加速运动B．甲同学在乙同学家停留了30minC．甲、乙两同学家相距3.6kmD．甲从离开学校至到家的这段时间内，平均速度为2m/s答案 BCD解析 前20min，甲同学做匀速直线运动，A错.20min～50min甲同学一直在乙同学家，B对．甲、乙两同学家的距离为8.4km－4.8km＝3.6km，C对．甲同学从学校到家的位移x＝8.4km，所用时间t＝70min＝4200s，平均速度v＝＝m/s＝2m/s，D对．4．(刹车类问题)一滑块在水平面上以10m/s的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为2m/s2.求：(1)滑块3s时的速度；(2)滑块10s时的速度及位移．答案 (1)4m/s (2)0 25m解析 取初速度方向为正方向，则v0＝10m/s，a＝－2m/s2
由t1＝得滑块停止所用时间t1＝s＝5s(1)由v＝v0＋at得滑块经3s时的速度v1＝10m/s＋(－2)×3m/s＝4m/s(2)因为滑块5s时已经停止，所以10s时滑块的速度为0,10s时的位移也就是5s时的位移，由x＝t得x＝×5m＝25m
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