4.1.1-圆的标准方程删减版文库素材

复习引入我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？yMrAOx 引入新课当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)的距离．yM(x,y)rA(a,b)Ox 圆的方程符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？符合上述条件的圆的集合：pM||MA|ryM(x,y)rA(a,b)Ox 圆的方程圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)之间的距离能用什么公式表示？22根据两点间距离公式：PPxxyy.12212122则点M、A间的距离为：MAxayb.即：pM|MA|r22(xa)(yb)r222(xa)(yb)r 圆的标准方程222(xa)(yb)r是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A(a,b)，半径为r的圆上．把这个方程称为圆心为A(a,b)，半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程（standardequationofcircle）. 特殊位置的圆方程圆心在坐标原点，半径长为r的圆的方程是什么？因为圆心是原点O(0,0)，将x＝0，y＝0和半径r带入圆的标准方程：222(xa)(yb)r222得：(x0)(y0)r222整理得：xyr 典型例题例1写出圆心为A(2,3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M(5,7，)M(5,1是否在这个)12圆上．解：圆心是A(2,3，半径长等于)5的圆的标准方程是：22(x2)(y3)2522把M(5,7的坐标代入方程)(x2)(y3)251左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M在这个圆上；1把点M(5,1的坐标代入此方程，左右两边不)2相等，点M的坐标不适合圆的方程，所以点2M不在2这个圆上． 点与圆的位置关系从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．222怎样判断点M(x在圆,y)(xa)(内呢？还是在圆yb)r000外呢？yM3oxM2AM1 点与圆的位置关系222怎样判断点M(x在圆,y)(xa)(内呢？还是在圆yb)r000外呢？可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径r；点在圆内——点到圆心的距离小于半径r．yM3oxM2AM1 典型例题例2ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．222解：设所求圆的方程是(xa)(yb)r（1）因为A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是222(5a)(1b)r222(7a)(3b)r222(2a)(8b)r 典型例题例2ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．解：解此方程组，得：a2,b3,2r25.22所以，ABC的外接圆的方程(x2)(y3)25． 典型例题例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，且圆心C在直线上l：x－y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小．圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，由于圆心C与A,B'两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线l上．又'圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线l的交点，半径长等于|CA|或|CB|．解：因为A(1,1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D的坐标31(,),直线AB的斜率:2221k3AB21 典型例题例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，且圆心C在直线上l：x－y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．'解：因此线段AB的垂直平分线l的方程是113y(x)232即x3y30圆心C的坐标是方程组x3y30xy10的解． 典型例题例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，且圆心C在直线上l：x－y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．x3,解：解此方程组，得y2.所以圆心C的坐标是(3,2)圆心为C的圆的半径长22r|AC|(13)(12)5所以，圆心为C的圆的标准方程是22(x3)(y2)25 知识小结圆的基本要素圆的标准方程圆心在原点的圆的标准方程判断点与圆的位置关系