4.1.1--圆的标准方程

第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程 生活掠影一石激起千层浪福建土楼奥运五环乐在其中小憩片刻 生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就一起来认识一下圆吧！ 1.推导出圆的标准方程.2.掌握圆的标准方程.（重点）3.能根据方程求出圆心及半径.4.掌握标准方程的字母意义.5.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.（难点） 1.思考:在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？分析：显然，当圆心与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径. 1.圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.2.圆上点组成的集合:P={M（x,y)||MC|=r}Mr你看看我是怎么形成的!C·M（x,y)是圆上动点，C是圆心，r是半径. 如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆心C(a,b)的距离．则|MC|=r.yMr圆上所有点的集合CP={M||MC|=r}.Ox 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：22(xa)(yb)r，把上式两边平方得：222(xa)(yb)r.222注意：1.圆的标准方程(xa)(yb)r.2.若圆心为O（0，0），则圆的方程为：222xyr. 例1写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,7),M2(5,1)是否在这个圆上.22解:所求的圆的标准方程是(xy2)(3)25.22把点M1(5,7)的坐标代入方程(xy2)(3)25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M1(5,7)在这个圆上. 22把点M2(5,1)的坐标代入方程(xy2)(3)25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以点M2(5,1)不在这个圆上.yOxM2AM1 【提升总结】点与圆的位置关系如果设点M到圆心的距离为d,则可以看到：y点在圆上d=r；M2点在圆内dr.M3 解：因为A(1,1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D3121的坐标为(,),直线AB的斜率:k3，22AB21113因此线段AB的垂直平分线l′的方程是yx()，232y即x-3y-3=0.A(1,1)OxDCB(2,-2)llxy:10 比较例2和例3，你能归纳求任意△ABC外接圆的方程的两种方法吗？两种方法：待定系数法；数形结合法. 1.若点(１，１)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是()AA.-1＜a＜1B.0＜a＜1C.a＞1或a＜-1D.a=±1 2.已知A(0，－5)，B(0，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A.(x＋3)2＋y2＝2B.x2＋(y＋3)2＝4C.(x＋3)2＋y2＝4D.(x－3)2＋y2＝2【解析】选B.圆的圆心是(0,－3)，半径是r＝1|－5－(－1)|＝2.故圆的方程为x2＋(y＋3)2＝4.2 3.已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-2=0上，求圆M的方程.【解】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),2221-a+-1-b=r,222根据题意得：-1-a+1-b=r,a+b-2=0,解得：a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4. 4.如图，已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？ 解：以某一截面半圆的圆心为y坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系A02.7B（如右图）.x22那么半圆的方程为xy16(y0),2将x=2.7代入,得y162.78.71＜3.即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道. 不想当元帅的士兵不是好士兵。