新人教A版必修2 高中数学 4.1.1 圆的标准方程式 导学案

4.1.1圆的标准方程学案一．学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；能用待定系数法、几何法求圆的标准方程.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：1.圆的标准方程：方程表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.2.求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程.四．自主探究：（一）例题精讲：【例1】（01年全国卷.文）过点、且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（）.A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4C.（x－1）2＋（y－1）2＝4D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4解：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A、C满足条件,再把A点坐标（1，－1）代入圆方程.A不满足条件.所以，选C.另解：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r,因为圆心C在直线x+y－2=0上,∴b=2－a.由|CA|=|CB|，得（a－1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b－1）2，解得a=1，b=1.因此，所求圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=4.选C.【例2】求下列各圆的方程：（1）过点，圆心在；（2）圆心在直线上的圆C与y轴交于两点解：（1）设所求圆的方程为.则，解得.∴圆的方程为.（2）圆心在线段AB的垂直平分线上，代入直线得，圆心为，半径.∴圆C的方程为.【例3】推导以点为圆心，为半径的圆的方程.解：设圆上任意一点，则.由两点间的距离公式，得到.化简即得圆的标准方程：点评：这里的推导方法，实质就是求曲线方程的通法，其基本步骤是：建系设点（建立合适的坐标系，设所求曲线上的动点）→写条件（写出动点M所满足的条件）→列式（用坐标来表示所写出的条件，列出方程）→化为最简→特殊说明.【例4】一个圆经过点与，圆心在直线上，求此圆的方程.解：设圆心，则，解得. 圆的半径.∴圆的标准方程为.另解：线段AB的中点，即.直线AB的斜率.所以弦AB的垂直平分线的方程为，即.解方程组，得，即圆心.圆的半径.∴圆的标准方程为.点评：两种解法，都是先求出圆心与半径，第一种解法用设圆心坐标后列方程而求，第二种解法用两条直线的交点求圆心.由上可得，解法关键都是如何求圆心与半径.五．目标检测（一）基础达标1．圆的圆心和半径分别是（）.A．，1B．，3C．，D．，2．已知直线l的方程为，则圆上的点到直线l的距离的最小值是（）.A.3B.4C.5D.63．过两点P(2,2),Q(4,2)且圆心在直线上的圆的标准方程是（）.A．B.C.D.4．（04年天津卷理7）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）.A.B.C.D.5．已知圆，一束光线从点经轴反射到圆周的最短路程是（）.A.B.8C.D.106．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为.7．（04年江苏卷.14）以点为圆心，与直线相切的圆的方程是.（二）能力提高8．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程.9．求与x轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于 的圆的方程.（三）探究创新10．（03年京春文）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.