2019人教A版数学必修二4.1.1节《圆的标准方程》
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2019人教A版数学必修二4.1.1节《圆的标准方程》

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资料简介
2019人教A版数学必修二4.1.1节《圆的标准方程》Ⅰ.复习提问、引入课题师:前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑:如何求适合某种条件的点的轨迹?生:①建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点M的坐标为(x,y);②写出适合某种条件p的点M的集合P={M︳p(M)};③用坐标表示条件,列出方程f(x,y)=0;④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点(一般省略)。[多媒体演示]师:这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程,今天我们来看圆这种曲线的方程。[给出标题]师:前面我们曾证明过圆心在原点,半径为5的圆的方程:x2+y2=52即x2+y2=25.若半径发生变化,圆的方程又是怎样的?能否写出圆心在原点,半径为r的圆的方程?生:x2+y2=r2.师:你是怎样得到的?(引导启发)圆上的点满足什么条件?生:圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即,亦即x2+y2=r2.师:x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊:圆心在原点,半径为r.有时圆心不在原点,若此圆的圆心移至C(a,b)点(如图),方程又是怎样的?Cr即:(x-a)2+(y-b)2=r2Ⅱ.讲授新课、尝试练习生:此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合,YM(x,y)由两点间的距离公式得师:方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程.OX特别:当圆心在原点,半径为r时,圆的标准方程为:x2+y2=r2.师:圆的标准方程由哪些量决定?生:由圆心坐标(a,b)及半径r决定。师:很好!实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见,要确定圆的方程,只需确定a、b、r这三个独立变量即可。1、    写出下列各圆的标准方程:[多媒体演示]①圆心在原点,半径是3:________________________②圆心在点C(3,4),半径是:______________________③经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3):_______________________2、 变式题[多媒体演示]①    求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。答案:(x-1)2+(y-3)2=②已知圆的方程是(x-a)2+y2=a2,写出圆心坐标和半径。答案:C(a,0),r=|a|Ⅲ.例题分析、巩固应用师:下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.[例1]           已知圆的方程是x2+y2=17,求经过圆上一点P(,)的切线的方程。 师:你打算怎样求过P点的切线方程?Y生:要求经过一点的直线方程,可利用直线的点斜式来求。师:斜率怎样求?P生:。。。。。。师:已知条件有哪些?能利用吗?不妨结合图形来看看(如图)OX生:切线与过切点的半径垂直,故斜率互为负倒数半径OP的斜率K1=,所以切线的斜率K=-=-所以所求切线方程:y-=-(x-)即:x+y=17(教师板书)师:对照圆的方程x2+y2=17和经过点P(,)的切线方程x+y=17,你能作出怎样的猜想?生:。。。。。。 师:由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P(,)有何关系?(若看不出来,再看一例)[例1/]圆的方程是x2+y2=13,求过此圆上一点(2,3)的切线方程。答案:2x+3y=13即:2x+3y-13=0师:发现规律了吗?(学生纷纷举手回答)生:分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y,便得到了切线方程。师:若将已知条件中圆半径改为r,点改为圆上任一点(xo,yo),则结论将会发生怎样的变化?大胆地猜一猜!生:xox+yoy=r2.师:这个猜想对不对?若对,可否给出证明?生:。。。。。。[例2]已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点P(xo,yo)的切线的方程。解:如图(上一页),因为切线与过切点的半径垂直,故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数∵半径OP的斜率K1=,∴切线的斜率K=-=-∴所求切线方程:y-yo=-(x-xo) 即:xox+yoy=xo2+yo2亦即:xox+yoy=r2.(教师板书) 当点P在坐标轴上时,可以验证上面方程同样适用。归纳总结:圆的方程可看成x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo替换,可得到切线方程[例3]右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20M,拱高OP=4M,在建造时每隔4M需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度。(精确到0.01M)引导学生分析,共同完成解答。师生分析:①建系;②设圆的标准方程(待定系数);③求系数(求出圆的标准方程);④利用方程求A2P2的长度。解:以AB所在直线为X轴,O为坐标原点,建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上,设为(0,b),半径为r,那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.∵P(0,4),B(10,0)都在圆上,于是得到方程组:YP2P解得:b=-10.5,r2=14.52∴圆的方程为x2+(y+10.5)2=14.52.将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程AA2OBX且取y>0得:y=≈14.36-10.5=3.86(M)答:支柱A2P2的长度约为3.86M。Ⅳ.课堂练习、课时小结课本P77练习2,3师:通过本节学习,要求大家掌握圆的标准方程,理解并掌握切线方程的探求过程和方法,能运用圆的方程解决实际问题.Ⅴ.问题延伸、课后作业(一)若P(xo,yo)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,試求过P点的圆的切线方程。课本P81习题7.7:1,2,3,4(二)预习课本P77~P79

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