4.1.1圆的标准方程2
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4.1.1圆的标准方程2

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时间:2022-09-01

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资料简介
4.1.1圆的标准方程(1) 通过上一章的学习,我们知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,那么圆也可以用方程表示吗?圆的方程怎样来求呢?初中圆是怎样定义的?阅读教材118页并回答下面问题:(1)在直角坐标系中,确定圆的基本要素是什么?(2)如果已知圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r,我们如何写出圆的方程? 由定义求:圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程.rxAOy设M(x,y)是圆上任意一点,根据定义,点M到圆心A的距离等于r,所以圆A就是集合P={M||MA|=r}由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为:(x-a)2+(y-b)2=r把上式两边平方得:(x-a)2+(y-b)2=r2圆的定义:平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。定点就是圆心,定长就是半径。M.解: 若点M在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程①,反之,若点M的坐标满足方程①,这就说明点M与圆心A的距离为r,即M在圆心为A的圆上.方程①就是圆心为A(a,b)半径为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.rxAOyM.……①特点:1.是关于x、y的二元二次方程;3.确定圆的方程必须具备三个独立条件,4.若圆心在坐标原点,则圆方程为x2+y2=r22.明确给出了圆心坐标和半径.即a、b、r. 例1.写出下列各圆的方程:(1)圆心在原点,半径是3;(2)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3).解:(1)由已知得圆的方程为:(2)由已知得半径:即故所求圆的方程为: 例2.已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以P1P2为直径的圆的方程,试判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外?解:由题意得圆心:即半径:故所求圆的方程为:M在圆上,N在圆外,Q在圆内. 结论:1.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2有三种关系:一般地, 练习:已知一个圆的直径端点是M(x1,y1)、N(x2,y2),证明:圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.证明:xAOyM..N设P(x,y)是圆上任意一点,则由M,N是直径的端点知.P即即为所求圆的方程. 例3.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.解:设所求圆的方程为:则由A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上得,解得故△ABC的外接圆的方程是:xyOABCD 例3.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.解2:AB边中点:AB边斜率:AB边中垂线方程:即同样可求得AC边中垂线方程:解方程组得圆心:半径:故△ABC的外接圆的方程是:xyOABCD 变式.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的内切圆的方程.xyOABCE法二:三角形的内切圆圆心到三边距离相等,设圆心(a,b),又距离相等建立方程组,求出圆心坐标,算出半径.法一:三角形的内切圆圆心是三条边角平方线交点,写出两条角平分线方程,联立求解得到内心坐标,算出半径,得到圆的标准方程. 例4.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),圆心C在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 课后作业2.《优化探究》4.1.11.教材第90页习题4.1A组

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