第4.1.1节圆的标准方程Ⅰ.复习提问、引入课题师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M︳p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。［多媒体演示］师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52即x2+y2=25.若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？生：x2+y2=r2.师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即，亦即x2+y2=r2.师：x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？Cr即：（x-a）2+(y-b)2=r2Ⅱ.讲授新课、尝试练习生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，YM(x,y)由两点间的距离公式得师：方程（x-a）2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程.OX特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.师：圆的标准方程由哪些量决定？生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。1、 写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］①圆心在原点，半径是3：________________________②圆心在点C（3，4），半径是：______________________③经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________2、 变式题［多媒体演示］① 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。答案：(x-1)2+(y-3)2=②已知圆的方程是(x-a)2+y2=a2,写出圆心坐标和半径。答案：C（a,0）,r=|a|Ⅲ.例题分析、巩固应用师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.［例1］ 已知圆的方程是x2+y2=17，求经过圆上一点P（，）的切线的方程。
师：你打算怎样求过P点的切线方程？Y生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。师：斜率怎样求？P生：。。。。。。师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看（如图）OX生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数半径OP的斜率K1＝，所以切线的斜率K＝－＝－所以所求切线方程：y-=－(x-)即：x+y=17(教师板书)师：对照圆的方程x2+y2=17和经过点P（，）的切线方程x+y=17，你能作出怎样的猜想？生：。。。。。。 师：由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P（，）有何关系？（若看不出来，再看一例）［例1/］圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。答案：2x+3y=13即：2x+3y－13＝0师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答）生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！生：xox+yoy=r2.师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？生：。。。。。。［例2］已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数∵半径OP的斜率K1＝，∴切线的斜率K＝－＝－∴所求切线方程：y-yo=－(x-xo)
即：xox+yoy=xo2+yo2亦即：xox+yoy=r2.(教师板书) 当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。归纳总结：圆的方程可看成x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo替换，可得到切线方程［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）引导学生分析，共同完成解答。师生分析：①建系；②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方程求A2P2的长度。解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为（0，b）,半径为r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.∵P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：YP2P解得：b=-10.5,r2=14.52∴圆的方程为x2+(y＋10.5)2=14.52.将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程AA2OBX且取y>0得：y=≈14.36-10.5=3.86(M)答：支柱A2P2的长度约为3.86M。Ⅳ.课堂练习、课时小结课本Ｐ77练习2，3师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题.Ⅴ.问题延伸、课后作业(一)若P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b)2=r2上时，試求过P点的圆的切线方程。课本Ｐ81习题7.7:1，2，3，4(二)预习课本Ｐ77～Ｐ79
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