《圆的标准方程》教学设计一、教材分析本节内容是人教版A版数学必修2第四章第一节。是前面学习了直线方程、两条直线的位置关系的基础上，让学生学会在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.二、学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质以及直线方程后进行研究的。但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。三、教法分析本节通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以启发式教学法为主，以讲练结合法、谈话法等展开教学。为了充分调动学生学习的积极性，采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上。在探究过程中，教师着眼于“导”，采用问题驱动的形式，激发学生的求知欲望；学生着眼与“探”，通过探究发现规律，发展探索能力和创造能力。四、学法分析通过由直线方程的推导类比到圆的标准方程的推导，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法和几何法求解的过程。根据上述分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：五、教学目标(1)知识与技能：①掌握圆的标准方程；②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程。(2)过程与方法：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；③培养学生自主探究的能力。(3)情感态度与价值观：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。六、教学重点与难点(1)重点:圆的标准方程的求法。
(2)难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程。七、教学过程（一）创设情境（启迪思维）图片展示生活中的圆，引例：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？（由引例激发学生的学习兴趣）用多媒体展示直线的点斜式方程的推导过程，从而类比到圆的方程的推导。为了引导学生正确的推导出圆的标准方程，设计了四个问题帮助学生思考。（二）深入探究（获得新知）思考1圆是怎样定义的？思考2圆作为平面几何中的图形，确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？思考3如何用集合语言描述以点C为圆心，r为半径的圆？思考4在平面直角坐标系中，若知道圆心为C(a,b)半径r,试推导出圆的标准方程。学生分组讨论，老师与学生一起订正，并将圆的定义和推导过程板书。（1）定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点称为圆心（确定圆的位置），定长称为半径（确定圆的大小）。（2）设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程当a=b=0且r=1时，方程：x2+y2=1称为单位圆方程特征：（1）含有a,b,r三个参数；（2）已知方程可以找出圆心和半径（三）基础练习（巩固提高）练习1、写出下列各圆的方程(1)圆心在原点,半径是3
(2)圆心在(-2，-5),半径是(3)经过点P(5,0),圆心在点C(8,-4)(4)已知A(0,-5),B(0,-1),则以线段AB为直径练习2、说出下列各圆的圆心坐标和半径。(1)(x-3)2+(y+2)2=4(2)(x+4)2+(y-3)2=7(3)(x-2)2+(y+5)2=a2(a≠0)（四）典型例题例1：写出圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的方程，并判断点M(3,-2)，P(5,-7)，Q(-1,3)是否在这个圆上。分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手，由此探究点与圆的位置关系。源:学科点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系由多媒体展示。例2：的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数。还可以先求圆心（是线段AB和线段BC的中垂线的交点），然后求半径，代入圆的标准方程。 解（待定系数法）：设所求圆的方程是．① 因为都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是解此方程组得 所以的外接圆的方程是 ．A(1,1)B(2,-2)c例3:已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程。
o师生共同分析:如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。（教师板书解题过程。） 解（几何法）：因为，，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率． 因此线段的垂直平分线的方程是， 即． 圆心的坐标是方程组的解． 解此方程组，得 所以圆心的坐标是 圆心为的圆的半径长． 所以圆心为的圆的标准方程是．想一想：(1)比较例2和例3，你能归纳求任意三角形ABC外接圆的方程的两种方法吗？(2)对于例2和例3，你还有其他的解法吗？(3)任意三角形ABC都有外接圆，那么任意四边形ABCD是否共圆，怎样判断？
（找学生回答）规律总结：（1）待定系数法：列出关于a,b,r的方程组，解方程组求出a,b,r.（2）数形结合法：利用已知条件，结合圆的几何性质，求得圆的基本要素（圆心坐标，半径），进而求得方程。（五）实际应用引例解答[引导]画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16（y≥0）将x＝2.7代入，得 ．即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。（六）小结反思1．课堂小结(1)、牢记:圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(2)、明确圆心（a，b）、半径r确定一个圆(3)、点与圆的位置关系(4)、求圆的标准方程方法：①待定系数法②数形结合（利用几何性质）法我认为人的学习就像一个圆，学的东西越多，则圆的周长越长，周长越长则接触外面世界的机会就越多。“书山有路勤为径，学海无涯苦做舟”，希望你们珍惜时光，画好自己的圆.（七）作业与思考课后作业课本P124的习题4.1A组2、3、4、6思考1．把圆的标准方程展开后是什么形式？2．方程表示什么图形？教学设计说明圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用坐标法研究圆的标准方程及其简单应用。.首先，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识。
在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成.本节课的设计了七个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维．提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。
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