第四章 圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程
1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程.2.会用待定系数法求圆的标准方程,并能根据所给圆心与半径写出圆的标准方程.3.会判断点与圆的位置关系.
1.圆的定义(1)条件：平面内到定点的距离等于定长的点的_____.(2)结论：定点是_____,定长是_____.2.圆的标准方程(1)圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程为________________.(2)圆心在原点,半径长为r的圆的标准方程为________.集合圆心半径(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2=r2
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)圆心在原点,半径为r的圆的标准方程为()(2)若圆的标准方程为(x-1)2+y2=2,则r=2.()(3)若点M(x0,y0)在圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2的外部,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.()
提示：(1)错误.圆心在原点,半径为r的圆的标准方程为x2+y2=r2.(2)错误.因为r2=2,所以r=.(3)正确.由于点M在圆的外部,因此|MC|>r,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2.答案：(1)×(2)×(3)√
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)圆心为A(1,1),半径为1的圆的标准方程为.(2)若圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=4,则圆心为,半径r=.(3)点P(1,2)与圆x2+y2=1的位置关系是.
【解析】(1)由圆的标准方程特点知,该圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1.答案：(x-1)2+(y-1)2=1(2)由圆的标准方程知,圆心为(3,2),半径r=2.答案：(3,2)2(3)因为12+22=5>1,所以点P在圆x2+y2=1外.答案：点P在圆外
一、圆的标准方程探究1：(x-a)2+(y-b)2=r2,其中C(a,b)是圆心,半径为r.观察下面图象,并结合圆的标准方程回答问题：
(1)图形中,圆心C的坐标为,半径r=.提示：圆心C为(a,b),半径r=|CM|.(2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有几个待确定的量?要求它们需几个独立的条件?提示：三个待确定的量a,b,r;要求它们需三个独立的条件.
探究2：观察圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,思考下列问题：(1)圆的标准方程的推导依据是什么?提示：根据圆的定义,圆上的点到定点的距离等于定长,利用两点间的距离公式推导.(2)圆的标准方程具有怎样的结构特点?提示：方程的左端是两个完全平方式的和,右端是一个正数的平方.
【探究提升】1.对圆的标准方程的理解(1)圆的标准方程是由两点间的距离公式推导出来的,它是圆的定义的直观反映,是代数与几何结合的完美体现.(2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心和半径,反之,已知圆的圆心和半径可以写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准方程的优越性.
2.圆的标准方程中参数a,b,r的作用圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b)为圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确定圆时起到定位作用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起到定形作用,即影响圆的大小.
3.几种常见特殊位置的圆的标准方程(1)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程：x2+y2=r2.(2)圆心在x轴上,半径为r的圆的标准方程：(x-a)2+y2=r2.(3)圆心在y轴上,半径为r的圆的标准方程：x2+(y-b)2=r2.(4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程：(x-a)2+y2=a2(a≠0).(5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程：x2+(y-b)2=b2(b≠0).
二、点与圆的位置关系请观察如图所示的圆O及该平面上的三个点A,B,C,思考下列问题：
探究1：在平面几何中,点与圆有哪几种位置关系?提示：在圆内,在圆上,在圆外.探究2：在平面几何中,如何确定点与圆的位置关系?提示：利用点和圆心之间的距离与半径的大小关系来判断.
探究3：在直角坐标系中,已知点M(x0,y0)和圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2,如何判断点M在圆外、圆上、圆内?提示：当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;当(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C外.探究提示：结合两点间的距离公式
【探究提升】关于点与圆位置的两点应用(1)给出点的坐标与圆的方程,可以判断它们的位置关系.(2)已知点与圆的位置关系,可以解决点的坐标或圆的方程中所含字母的取值或范围的问题.
类型一圆的标准方程的求法通过解答下列与圆的标准方程相关的题目,试归纳总结求标准方程的方法及用待定系数法求圆的标准方程的三个基本步骤.
1.(2013·长沙高一检测)圆心为(1,-1),半径为2的圆的方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y-1)2=4C.(x+1)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=42.(2013·烟台高一检测)求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心C在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.
【解题指南】1.先分清楚圆心坐标、半径长,再代入圆的标准方程.2.利用圆的有关性质先分析出圆心的位置,再设法求出圆心坐标和半径,进而写出圆的标准方程;也可采用待定系数法求圆的标准方程,即先设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,然后列出关于a,b,r的方程组,解出a,b,r即可.
【解析】1.选D.因为圆心为(1,-1),半径为2,所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=4.
2.方法一：因为A(1,-1),B(-1,1),所以AB的垂直平分线方程是x-y=0，解方程组即圆心C(1，1)，则半径r=|AC|=2,所以圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=4.方法二：设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得因此，圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
【互动探究】题1中若将条件“半径为2”改为“直径的两个端点分别在x轴、y轴上”，其他条件不变，求此时圆的标准方程.【解析】由题意知，直径的两个端点分别为(2,0)和(0,-2)，故圆的半径r=,故圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
【技法点拨】求圆的标准方程的两种方法(1)几何法：根据题意直接求出圆心和半径,然后再写出圆的标准方程.(2)待定系数法：①设：根据题意,设所求圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2;②列：根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解：解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的圆的标准方程中,就得到所求的圆的标准方程.
【变式训练】求圆心C在直线y=2x上,且经过原点及点M(3,1)的圆C的标准方程.【解题指南】设出圆的标准方程,利用待定系数法求解.
【解析】设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则b=2a,由题意a2+(2a)2=(a-3)2+(2a-1)2,解得a=1,故圆心坐标为(1,2),半径故圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
类型二点与圆的位置关系尝试完成下列题目,归纳判断点与圆的位置关系的两种方法.1.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是()A.a1B.-1
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