2017-2018学年高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程优化练习新人教A版必修2

4.1.1圆的标准方程[课时作业][A组　基础巩固]1．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)A．在圆外　B．在圆内　C．在圆上　D．不确定解析：∵m2＋25＞24，∴P(m,5)在圆x2＋y2＝24的外部．答案：A2．圆的一条直径的两个端点是(2,0)、(2，－2)，则此圆的方程是(　　)A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1解析：∵所求圆的圆心为(2，－1)，半径r＝＝1，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：B3．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是(　　)A.B.C．1D.解析：d＝＝.答案：A4．过点C(－1,1)和点D(1,3)，且圆心在x轴上的圆的方程是(　　)A．x2＋(y－2)2＝10B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x＋2)2＋y2＝10D．(x－2)2＋y2＝10解析：设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，由题意得＝，解得a＝2，所以r＝＝.故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：D5．圆心在y轴上，半径是5，且过点(3,4)的圆的标准方程是(　　)A．x2＋y2＝25B．x2＋(y＋8)2＝25C．x2＋y2＝25或x2＋(y－8)2＝25D．x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 解析：设圆心的坐标为C(0，b)，所以由圆过点A(3,4)，得＝5，解得b＝0或b＝8，因此圆的方程为x2＋y2＝25或x2＋(y－8)2＝25.答案：C6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是______________．解析：由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.答案：(x－2)2＋(y－4)2＝207．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是_______．解析：圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝18．如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么x2＋y2的最大值是________．解析：∵表示圆(x－2)2＋y2＝3上的点到原点的距离，∴的最大值为：2＋，∴x2＋y2的最大值为：7＋4.答案：7＋49.如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．(1)求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解析：(1)设圆心C(a，b)，半径r，则由C为P1P2的中点得a＝＝5，b＝＝6.又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.(2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：|CM|＝＝；|CN|＝＝＞；|CQ|＝＝3＜.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．10．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.[B组　能力提升]1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是(　　)A．2B．1＋C．2＋D．1＋2解析：由题意知，已知圆的圆心是(1,1)，圆心到直线x－y＝2的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即dmax＝r＋＝1＋.答案：B2．已知圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，直线l经过点(2，)和圆C的圆心，则直线l的倾斜角等于(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由圆C方程可知，圆C的圆心为(1,0)，又直线l过点(2，)，故kl＝＝.所以直线l的倾斜角等于60°.答案：B3．已知A(－1,4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是______________．解析：|AB|＝＝10，则r＝5，AB的中点坐标为，即(2,0)．故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.答案：(x－2)2＋y2＝254．已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________．解析：由于82＋(－6)2＝100＞25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为－5＝10－5＝5.答案：5 5．已知集合A＝{(x，y)|x＝3a＋1，y＝4a}，集合B＝{(x，y)|(x－2)2＋y2＜25a2}，且A∩B≠∅，求实数a的取值范围．解析：集合A表示点M(3a＋1,4a)，集合B表示圆N：(x－2)2＋y2＝25a2的内部部分．A∩B≠∅表示点M(3a＋1,4a)在圆N内部，∴(3a＋1－2)2＋(4a)2＜25a2，解得a＞，∴a的取值范围是a＞.6．已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)．(1)求圆C的方程(用含x0的方程表示)；(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程．解析：(1)由题意，设圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．因为圆C过定点P(4,2)，所以(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．所以r2＝2x－12x0＋20.所以圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，所以当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.