新人教A版必修2 高中数学 4.1.1 圆的标准方程式 练习题

4.1.1圆的标准方程一、选择题1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为(  )A．在圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外解析：选C ∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，∴点P在圆内．2．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心、半径是(  )A．(1，－2)，4B．(1，－2)，2C．(－1,2)，4D．(－1,2)，2答案：D3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(  )A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：选A 法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.法二(数形结合法)：根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择项，排除B、D，又由于圆心在y轴上，排除C，选A.4．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(  )A．(x－1)2＋(y－2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－2)2＝25解析：选D 圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(  )A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－2)2＝5解析：选C 直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0. 由得，∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.二、填空题6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．解析：由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.答案：(x－2)2＋(y－4)2＝207．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．解析：由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.答案：0≤a＜18．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．解析：如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x＋2y＝0的距离为＝，解得a＝－5，a＝5(舍去)，∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x＋5)2＋y2＝5.答案：(x＋5)2＋y2＝5三、解答题9．求经过A(－1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．解：法一：设圆心坐标为(a，b)．∵圆心在y轴上，∴a＝0.设圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆过A，B两点，∴解得∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.法二：∵线段AB的中点坐标为(1,3)，kAB＝＝－，∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由解得∴点(0,1)为所求圆的圆心．由两点间的距离公式，得圆的半径r＝，∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.10．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x －a)2＋(y－6)2＝r2.将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2，①而r＝，代入①，得(a－1)2＋16＝，解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4.故所求圆为(x－3)2＋(y－6)2＝20，或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.