圆的标准方程

　　圆的标准方程沈连春（淮安市楚州中学，江苏淮安223200）摘要：本节课是苏教版高中数学必修2第二章平面解析几何初步第二节圆与方程的第一课时。本节内容非常重要，在高考中占一定分值。而这节教材安排在学习了直线之后，学习圆锥曲线之前，目的熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备，具有承上启下的作用。本文笔者这一课时进行了教学设计。关键词：教学设计；圆与方程；曲线：G633：A：一、教材分析本节课是苏教版高中数学必修2第二章平面解析几何初步第二节圆与方程的第一课时。本节内容非常重要，在高考中占一定分值。而这节教材安排在学习了直线之后，学习圆锥曲线之前，目的熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备，具有承上启下的作用。二、学情分析学生已学完了高中数学必修2的直线方程，对方程有了初步了解，能接受用坐标、方程知识来刻画直线、圆等图形。三、设计思路1、本节课通过引导学习主动和合作探究的学习模式之上，采取“问题情境—引导探究—解释、应用”教学策略，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使学生更容易理解和接受。 2、让学生理解通过建立坐标系的方法推导圆的标准方程。通过求圆的标准方程，理解必须具备两个独立的条件才可以确定一个圆。通过圆的标准方程应用，熟悉用待定系数法求解的过程。四、教学目标（一）知识与技能1、在平面直角坐标系中，理解圆标准方程的推导过程并掌握圆的标准方程。2、会根据圆的方程，求圆心和半径；反之，会根据圆心和半径写圆的标准方程。（二）过程与方法1、让学生逐步体会解析几何的基本思想。2、让学生理解数形结合思想和待定系数法在求圆方程时的优越性。五、教学重点和难点重点：圆的标准方程的求法与应用难点：圆的标准方程求法六、教学过程设计（一）创设情境，引入课题展示1：生活中常见的圆形物体展示2：隧道的图片及简图（现场用课件展示）问题：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？启发：通过上一节课学习，我们知道直线的方程和其上一点的横坐标就可以求纵坐标，例如：已知直线，点是上一点，它的横坐标为1，则点的纵坐标为________,可否从中受到启发？如果将半圆所在的圆方程求出来，再将代入，就可以求出纵坐标，即可判断能否通过。 今天这节课我们来学习如何建立圆的方程，然后用它解决实际问题。意图：用实际问题引入，激发学生学习新知识的兴趣,同时明确本节课的学习任务。（二）新课1、建立圆的标准方程师：平面直角坐标系内知道哪些条件可以确定一个圆？（引导学生回顾圆的定义）生：圆心和半径师：圆上任意一点满足什么条件？（引导启发。并要求用具体式子表示）生：圆上任意一点到圆心的距离等于半径。生：此圆是到点距离等于半径的点集合，即由两点间距离公式得，两边平方得师：该圆上所有点的坐标是否满足该方程，坐标满足该方程的点以否一定在圆上？生：由刚才推导过程可知，该圆上所有的点满足该方程，反之，若点的坐标满足该方程，则该点到圆心的距离都为，由圆的定义知，这样的点在圆上。师：（总结）方程叫做以圆心，为半径圆的标准方2、熟悉圆的标准方程结构例题1、已知圆的方程，写出圆心坐标和半径（1）；（2）（3）；（4）由学生口答，在（3）中可以追加问若去掉 这个条件，会出现什么结果？设计意图：帮助学生熟悉圆的标准方程形式。3、圆的标准方程求法例2：写出圆的标准方程①圆心在点，且半径为5的方程；②圆心，且经过坐标原点的圆的方程；③已知点，求以线段为直径的圆的标准方程。设计意图：直接或间接给出圆心坐标和半径，求圆的标准方程，让学生熟悉求圆的标准方程的方法，为下面稍微复杂一点问题做铺垫。练习①求以点为圆心，并且与轴相切的圆的方程;②与两坐标轴都相切，且圆心在直线上；③直线均过圆心，半径为3的圆的标准方程。设计意图：与例2不同之处是需作图利用圆的几何性质，发现圆心和半径的关系，从而求出圆心或半径。着重训练学生的几何法求圆的方程。4、现实生活中实际应用问题例3、完成刚开始时的问题。设计意图：在掌握圆的标准方程后，让学生练习，体会所学知识的应用价值，从而激发学习数学的激情。七、课堂小结（1）知识：圆的标准方程且圆心，为半径。（2）方法：圆的标准方程求法：待定系数法、几何法。（3）数学思维数形结合：利用图像的几何性质，寻找之间的等量关系； 类比：在研究相似问题时一种很好的方法；化归：把遇见的新的问题转化为会解决的。八、布置作业课本P100习题1，3，6思考：已知：一个圆的直径端点是，证明圆的方程是九、板书设计课题：圆的标准方程例2③-----------1、圆的标准方程---------------2、圆的标准方程求法练习①图形与书写----------------------