4．11　圆的标准方程

【课标要求】1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．2．会根据已知条件求圆的标准方程．3．能准确判断点与圆的位置关系．4.1.1圆的标准方程4.1圆的方程 【核心扫描】1．由已知条件求圆的标准方程．(重点)2．圆的几何性质的应用．(难点)3．准确判断点与圆的位置关系．(易混点) 1．圆的定义及圆的标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．(2)圆的标准方程新知导学 温馨提示：(1)在圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就确定了．因此确定圆的方程，需要三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定量条件． (2)求圆的标准方程常用的性质①圆的弦的垂直平分线过圆心；②两条弦的垂直平分线的交点为圆心；③圆心与切点的连线垂直于切线；④圆心到切点的距离等于圆的半径；⑤圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形；⑥直径所对圆周角为直角等． 2．点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在_____；若|CM|＞r，则点M在_____；若|CM|＜r，则点M在_____．(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在______⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在______⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2；点M(m，n)在______⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2.圆上圆外圆内圆C上圆C外圆C内 温馨提示：(1)不共线三点确定一个圆．(2)证四点共圆的方法：①证其中一点在另外三点确定的圆上；②证四边形一组对角互补． 探究点1方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆的条件是什么？当表示圆时，圆的半径是多少？提示m≠0|m|探究点2(1)任意三个点能确定一个圆吗？(2)四个点一定共圆吗？提示(1)不一定．当三点不共线时能确定一个圆，否则不能确定一个圆．(2)不一定．当四个点到一个定点的距离都相等或四个点都满足同一个圆的方程或四个点构成的四边形对角互补时共圆，否则四点不共圆.互动探究 类型一点与圆的位置关系【例1】已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．[思路探索]可用代数方法(即用圆的标准方程)求解，但要注意隐含条件a≠0. [规律方法](1)当圆的标准方程的右端含有字母时，不能忽略隐含条件．(2)判定点与圆的位置关系时，即用点到圆心的距离d与圆的半径r作比较，也可用圆的标准方程来判断． A．(0，1)B．[0，1)C．(1，＋∞)D．{1}(2)点P(a，10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是()．A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．与a的值有关 答案(1)B(2)A 【例2】求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．[思路探索]借助圆的几何性质先求出圆心坐标和半径后，直接代入圆的标准方程．类型二直接法求圆的标准方程 [规律方法]常利用圆的几何性质先求出圆心坐标和半径，再代入标准方程． 【活学活用2】(1)已知圆的圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点分别落在x轴，y轴上，求此圆的方程．(2)求圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线y＝－x＋1相切于点(2，－1)的圆的方程． 【例3】已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[思路探索]利用弦心距直角三角形求圆心坐标用直接法求解或根据弦的性质推出圆与y轴的交点，再用待定系数法解决．类型三待定系数法求圆的方程 [规律方法]待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：①设：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②列：由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；③解：解方程组，求出a，b，r；④代：将a，b，r代入所设方程，得所求圆方程． 【活学活用3】(2012·临沂高一检测)一圆过原点O和点P(1，3)，圆心在直线y＝x＋2上，求此圆的方程．解　法一∵圆心在直线y＝x＋2上，∴设圆心坐标为(a，a＋2)，则圆的方程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2，∵点O(0，0)和P(1，3)在圆上， 此类问题，根据我们现在所学的知识一般利用数形结合的方法解决：(1)看作圆上动点到定点的距离或定直线的距离；(2)看作圆上动点与圆外一定点连线的斜率．方法技巧与圆有关的范围(或最值)问题 [思路分析](1)看作(x，y)与(0，0)连线的斜率；(2)看作(x，y)与(2，3)两点间的距离． [题后反思]与圆有关的范围(或最值)问题我们现在有两类基本方法(1)数形结合：能化为完全平方式的多项式转化为圆上动点到圆外点的距离；求圆上动点到定直线的距离最小值，利用圆心到直线的距离公式；分式的最值转化为切线的斜率．(2)利用函数思想：通过整体代入，最后化为关于x或y的函数求解．但要注意x、y的取值范围. 1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()．课堂达标答案D 2．(2012·济宁高一检测)圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0，0)对称的圆的方程为()．A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x－2)2＋y2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析已知圆的圆心(－2，0)关于原点的对称点为(2，0)，故所求对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案C3．已知点(2，0)和(x－2)2＋(y＋1)2＝3，则点与圆的位置关系是________．解析把点(2，0)代入圆的方程的左端得(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴点(2，0)在圆(x－2)2＋(y＋1)2＝3的内部．答案点在圆的内部 4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为________．解析设圆心(0，b)，设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝1，把(1，2)代入得12＋(2－b)2＝1，∴b＝2.∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案x2＋(y－2)2＝1 5．求下列圆的标准方程(2)一条直径的两个端点为(2，0)，(2，－2)． 1．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．2．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．3．与圆有关的范围(或最值)问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解.课堂小结