4．11　圆的标准方程

第四章圆与方程4.1　圆的方程4.1.1　圆的标准方程基础达标1．方程y＝表示的曲线是(　　)．A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆解析　y＝可化为x2＋y2＝9(y≥0)．答案　D2．若点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　)．A．x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0D．2x－y－5＝0解析　圆心为C(1，0)，则AB⊥CP，∵kCP＝－1，∴kAB＝1，∴直线AB的方程是y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.答案　A3．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)．A．(x＋3)2＋(y＋4)2＝1B．(x＋4)2＋(y－3)2＝1C．(x－4)2＋(y－3)2＝1D．(x－3)2＋(y－4)2＝1解析　两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)关于y＝x的对称点为(－4，3)，即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1. 答案　B4．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．解析　设圆心坐标为(a，0)，易知＝，解得a＝2，∴圆心为(2，0)，半径为，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案　(x－2)2＋y2＝105．(2012·徐州高一检测)已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________．解析　由于82＋(－6)2＝100＞25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为－5＝10－5＝5.答案　56．若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是________．解析　如图所示，设圆心O(a，0)，则圆心O到直线x＋2y＝0的距离为＝，解得a＝－5，a＝5(舍去)，故所求圆的方程是(x＋5)2＋y2＝5.答案　(x＋5)2＋y2＝57．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．解　(1)由题意，结合图(1)可知圆心(3，0)，r＝2，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)如图(2)所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为D.由点到直线的距离公式可得|CD|＝＝2， 又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2.结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2.能力提升8．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(　　)．A．2B．1C.D.解析　由几何意义可知最小值为14－＝1.答案　B9．已知圆C：(x＋2)2＋(y－6)2＝1和直线l：3x－4y＋5＝0，则圆C关于直线l对称的圆的方程为________．解析　由(x＋2)2＋(y－6)2＝1的圆心为(－2，6)，半径为1，设所求圆的圆心为M(a，b)，半径为1.由题知M与C关于直线l对称，则有解得故所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋2)2＝1.答案　(x－4)2＋(y＋2)2＝110．已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．解　设P(x，y)，则x2＋y2＝4.|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y. ∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.