圆的标准方程

4.1.1圆的标准方程（1） 通过上一章的学习，我们知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，那么圆也可以用方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？初中圆是怎样定义的？阅读教材118页并回答下面问题：（1）在直角坐标系中，确定圆的基本要素是什么？（2）如果已知圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r，我们如何写出圆的方程？ 由定义求：圆心是A(a,b)，半径是r的圆的方程.rxAOy设M(x,y)是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心A的距离等于r，所以圆A就是集合P={M||MA|=r}由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：(x-a)2+(y-b)2=r把上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。定点就是圆心，定长就是半径。M.解： 若点M在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程①，反之，若点M的坐标满足方程①，这就说明点M与圆心A的距离为r，即M在圆心为A的圆上.方程①就是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.rxAOyM.……①特点:1.是关于x、y的二元二次方程;3.确定圆的方程必须具备三个独立条件,4.若圆心在坐标原点，则圆方程为x2+y2=r22.明确给出了圆心坐标和半径.即a、b、r. 例1.写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,－3).解：(1)由已知得圆的方程为：(2)由已知得半径：即故所求圆的方程为： 例2.已知两点P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的方程，试判断点M(6,9)、N(3，3)、Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解：由题意得圆心:即半径:故所求圆的方程为：M在圆上，N在圆外，Q在圆内. 结论:1.点M(x0,y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2有三种关系：一般地， 练习：已知一个圆的直径端点是M(x1,y1)、N(x2,y2)，证明：圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．证明：xAOyM..N设P(x,y)是圆上任意一点，则由M,N是直径的端点知.P即即为所求圆的方程. 例3.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程.解：设所求圆的方程为：则由A(5,1)，B(7,－3)，C(2,－8)都在圆上得，解得故△ABC的外接圆的方程是：xyOABCD 例3.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程.解2：AB边中点：AB边斜率：AB边中垂线方程：即同样可求得AC边中垂线方程：解方程组得圆心:半径:故△ABC的外接圆的方程是：xyOABCD 变式.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7,－3)，C(2,－8)，求它的内切圆的方程.xyOABCE法二：三角形的内切圆圆心到三边距离相等，设圆心（a,b),又距离相等建立方程组，求出圆心坐标，算出半径.法一：三角形的内切圆圆心是三条边角平方线交点，写出两条角平分线方程，联立求解得到内心坐标，算出半径，得到圆的标准方程. 例4.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，圆心C在直线l:x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程. 课后作业2.《优化探究》4.1.11.教材第90页习题4.1A组