圆的标准方程

圆的方程方程的探求例题巩固练习作业小结 建系设点圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2找几何条件坐标化化简查漏补缺CM(x,y)rxOy问题:求圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程。求曲线方程的一般步骤是：回顾 ②方程明确给出了圆心坐标和半径；①是关于x、y的二元二次方程；③确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。记忆：圆的标准方程有哪些特点？圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 rrx2+y2=r2C(a,a)(x-a)2+(y-a)2=a2OxyC(a,b)(x-a)2+(y-b)2=a2+b2xyxOy练习1：看图写出下列圆的方程： (2)(x-3)2+(y-4)2=5练习2.课本P77第1题(3)(x-8)2+(y+3)2=25练习3.写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1)(x-1)2+y2=6(2)(x+1)2+(y-2)2=9(3)(x+a)2+y2=a2(1,0)6(-1，2)3(-a，0)|a|(1)x2+y2=9主页 例1求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x–4y–7=0相切的圆的方程。CyxOM（1）本题关键是求出什么？（2）怎样求出圆的半径？（3）直线和圆的位置关系有哪几种？思考：解答 用r表示圆的半径，d表示圆心到直线的距离，则（1）直线和圆相交drr直线和圆的位置关系d返回 例1求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x–4y–7=0相切的圆的方程。解：因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以因此，所求圆的方程是圆心C到这条直线的距离等于半径r根据点到直线的距离公式，得下一题 例2.已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。yxO1.圆的切线有什么性质？2.求切线方程的关键是什么？思考：3.看教材P76“想一想”下一题 P(x,y)由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2分析二：利用平面几何知识，按求曲线方程的一般步骤求解.如图，在Rt△OMP中yxOx0x+y0y=r2例2.已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。 P(x,y)分析三：利用平面向量知识。x0x+y0y=r2设P（x,y)是切线上的任意一点,则yxO例2.已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。主页 例3如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)xy主页 例3如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)yx则圆的方程是x2+(y-b)2=r2。解：建立坐标系如图所示，圆心在y轴上。设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r,因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是圆的方程的解。所以有解之得：b=-10.5,r2=14.52 把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.52因为P2的纵坐标y>0，所以≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m。例3如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)yx（续）所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52主页 求下列圆的方程：（1）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点（2，-1）；（2）圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切。巩固练习主页 小结(1)圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2当圆心在原点时，a=b=0，圆的标准方程为：x2+y2=r2(2)由于圆的标准方程中含有a,b,r三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。主页 P81习题7.71、2、3、4作业主页