2.1圆的标准方程

《求圆的标准方程》实录文稿一、讲话人：刘达锋二、操作人：刘达锋三、时长：14分钟四、内容各位评委老师，大家好，今天我讲课的内容是《求圆的标准方程》1、知识回顾首先让我们回顾圆的相关知识，由圆心，半径为可以作出圆的图形，由圆的图形可以确定圆心和半径，由圆心，半径为可以写出圆的标准方程，由圆的标准方程可以得出圆心和半径。从以上关系可以看出圆的核心要素是圆心和半径。对于求圆的标准方程，关键是确定圆心和半径。如已知圆心和半径，可以直接写出圆的标准方程。例、写出圆心为C(-3,4),半径为3的圆的标准方程.解：圆的标准方程为(x+3)2+(y-4)2=92、思考探究思考：在没有给出圆心和半径的情况下，如何求圆的标准方程？根据我们对平面几何的认识，一般运用代数方法研究几何问题。具体例2。3、典型例题例2、DABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圆方程。从代数角度来看，求圆的方程，关键是求方程中的三个参数，已知三点要圆上，代入可以三个方程，可求解出。解法1：设所求圆的方程为因为A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）都在圆上，所以它们都满足圆的方程。于是思考：如何求解上述方程组？观察方程组的特点，这是一个三元方程组，根据我们对解方程组知识的认知，三元方程消元为二元方程，二元方程消元为一元方程进行求解。而且方程的右边者是，作差易消去。我们选择由得通过展开项发现直接消去，作差部分只有第一个完全平方项展开式的第1项和中间项及第二个完全平方项的第1项和中间项，从而得得即④由得，即⑤ 由④⑤解得，代入得通过以上消元运算，完美解决了这个看似复杂，实质运算难度一般的解方程问题。解此方程组，得所以，DABC的外接圆方程为.这就是我们的代数方法（待定系数法）通过“设方程——列方程组——解方程组”三个步骤完成。我们用代数方法研究几何问题，得到的式子往往具有几何意义，如直线的斜截式方程，其中的，都有几何意义。思考1：试问上式是否具有几何意义？思考2：能否依据思考1的结论，确定出圆心和半径，求出DABC的外接圆的方程呢？取AB中点D,作AB的垂直平分线l1，由思考1可知，圆心M在AB的垂直平分线上，换个说法，点A、B的圆上，AB是弦，圆心M在弦AB的垂直平分线，即是我们初中所学圆的垂径定理。可见数和形是互相转化的。同理圆心M在BC的垂直平分线上，也在AC的垂直平分线上，验证了另一个性质：三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点。选取BC的垂直平分线l2，l1与l2的交点M即为DABC的外接圆的圆心。从而圆心M到A的距离为r，作出圆的图形。根据以上分析，我们写出解答过程。解法2： 利用作出图像，结合几何性质确定圆心和半径的方法，称为几何方法，主要运用数形结合思想。思考：以上两种方法是否通用呢？看到例34、强化应用例3、已知圆心为C的圆经过点A（1，1），和B（2，-2），且圆心在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。首先我们用代数方法（待定系数法）第一步：设方程解法1:设圆C的方程为第二步：列方程组∵圆心在直线l:x-y+1=0上，圆经过A(1,1),B(2,-2)第三步解方程组几何方法（数形结合）作出图像，结合几何性质确定圆心和半径连接AB，根据圆的垂径定理，圆心CAB的垂直平分线上，又圆心在l上，即圆心C为两直线的交点，圆心C到A的距离为r.作出圆的图形。根据以上分析，我们写出过程。解：因为A（1，1），B（2，-2），所以线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率为因此线段AB的垂直平分线l'的方程是即圆心C的坐标满足方程组解此方程组，得圆心C的坐标为（-3，-2）圆心为C的圆的半径长为所以，圆心为C的圆的标准方程为.显然，以上两种方法通用。对于不同的条件灵活选择方法。5、方法总结求圆的标准方程的方法代数方法（待定系数法求a,b,r）：设方程——列方程组——解方程组几何方法（数形结合）：作出图形，结合几何性质确定出圆心和半径. 不管是代数方法还是几何方法，都是围绕圆的核心要素圆心和半径进行求解。6、课后练习为了巩固以上两种求圆的标准方程的方法，安排了2道课后练习：1.DABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,2),C(1,-7),求它的外接圆方程.2.已知圆心为C的圆经过点A(1,-1)，和B(-1,1),且圆心在直线l：x+y-2=0上，求圆心为C的圆的标准方程.每一道题都用两种方法求解，今天讲课内容到此结束。谢谢！