21圆的标准方程

2.1圆的标准方程一、教材的地位与作用圆的标准方程是直线与直线方程Z后，安排的一节继续深入学习的内容，进一步运用坐标法解决二次曲线问题，为后面学习直线与圆的位置关系、椭圆、双曲线、抛物线等提供了基本模式和理论基础，起着承前启后的重要作用。二、教学目标1•知识与技能:（1）掌握圆的标准方程及其推导过程；（2）会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；（3）利用圆的标准方程解决简单的实际问题.2.过程与方法（1）体会数形结合思想，初步形成代数方法处理儿何问题能力；（2）加强对待定系数法的运用，培养学生t主探究的能力；3•情感态度与价值观：让学生感受数学的现实美、捕象美，体会圆的标准方程形成过程的严谨美.三、教学重难点教学重点：圆的标准方程及其运用；教学难点：圆的标准方程的推导，会根据不同的己知条件求圆的标准方程，选择恰当的坐标系解决与I员I有关的实际问题.四、教法、学法、教具木节课采用“启发式”问题教学法，以学生自主探究为主，利用图形直观启迪思维，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导学生通过建模來解决问题教具：多媒体五、教学过程温故知新1.复习直线的方程和方程的直线这两个概念2.求直线方程方法（突出待定系数法） 1.点点距离的公式2.确定直线方程的要素（四种直线方程要素特征） 1.几何问题代数化（数形结合的思想）设计意图：为借助平面直角坐标系，用代数的思想研究几何图形做铺垫探究：圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆，定点就是圆心，定长就是半径.强调闘的两耍素（1）圆心，（2）半径即两个定量T定点、定长探究活动：（1）如何在平面内刻画定点和定长？（2）如何用集合语言表示圆的定义（3）能用方程的语言来表示？设计意图：引入坐标系来刻网定点、定长，借助两点间的距离公式，用集合语言來描述动点的轨迹，用符号语言來表达圆的方程，体现数形结合的思想。确定鬪的棊木条件为鬪心和半径，设岡的鬪心坐标为A（a,b）,半径为厂。（其中a,b,r都是常数，厂＞0）设M（兀,y）为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M\\MA\=r}，由两点间的距离公式让学生写出点M适仑的条件ty7（x-6r）2+（y-Z?）2=r厂—（x,y）化简可得：(x-a)2+(y-b)2=r这个式子具有代表性，任一个圆上的点的坐标都可以表示成这种形式。其次再来考虑第二个条件，满足这个方程的（无,刃是否一定在这个圆上呢？只要（兀,刃）满足这个方程，则（兀,刃到⑺力）的距离就等于"则这个点就一定在该圆上。通过以上两点的考证，得出了圆的方程：圆心在（a,b）,半径为厂的圆的方程：圆的标准方程：（x-d）2+（y_b）2=r1说明：（1）类似于三角形勾股定理（可避免学生将厂2写成尸）； （2）有两个变量兀y,形式都是与某个实数差的平方；（3）含有a,b,r三个参数. 特别：当圆心在原点，半径为厂时，圆的标准方程为：x2+y2=r2归纳：求圆的一般步骤为：(1)建立适当的坐标系，用冇序实数对表示圆上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出圆方程J(3)用坐标表示条件P(M),列出方程/(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是圆上的点•(可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明J课堂练习：P791题例1求以C(4,-6)为圆心，半径等于3的圆的方程.(兀一4尸+(y+6)2=9例2求以C(3,l)为圆心，且经过点2)的圆的方程.解：r=\CP\=7(3-1)2+(1-2)2=V5=>(x-3)2+(y-l)2=5・例3求以C(l,3)为圆心，并与直线3兀-4y-6=0相切的圆的方程.解：依题意点C到直线3x-4y-6=0的距离为圆的半&r=|3~12~6|=3x/32+42・・・(x-l)2+(y-3)2=9・设计意图：让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程，根据条件列方程求参数，突出木节课重点。例4已知两点陆(4,9)和”2(6,3),求以MM?为直径的圆解：依题意设圆心为⑺上)半径为厂，C(a,b)是阿陆的中点«=^^=5,ft=^^=6,r=\CM}|=J(4-5尸+(9-6)2=応・•・(兀一5)2+(y-6)2=10例5求经过4(0,2),B(l,1),C(5,l)三点的圆的方程 解：设圆心为M,A3的中点为N线段AB与BC的中垂线的交点为圆心13AB的中点NkAB=-^=-lA/N丄AB=>kMN=1,MNJj程为y——x—,艮卩y二兀+122线段BC的屮垂线方程为*3,"兀+1=>M(3,4)x=3r=1MA|=J(3-0)2+(4-2)2=V13所求圆的方程是(兀一3尸+(y-4)2=l3.设计意图：是使“数形结合”思想的教学落到实处，同时培养学生的画图技能,充分利用圆的平而几何的性质，同时为圆的一般方程解法做铺垫。六、课堂小结1.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r22.两要素圆心(a,b)>半径尸3.待定系数法，数形结合的思想