新人教A版必修2 高中数学 4.1.1 圆的标准方程式 练习题

4.1.1圆的标准方程一、圆的标准方程1．圆的标准方程基本要素当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是______和______标准方程圆心为，半径为r的圆的标准方程是________________图示说明若点在圆上，则点的______适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在________上2．圆的标准方程的推导如图，设圆的圆心坐标为，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为①，①式两边平方，得.二、点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点，设.位置关系与的大小图示点P的坐标的特点点在圆外点在圆上点在圆内K知识参考答案：一、1．圆心半径坐标圆二、K—重点能根据条件写出圆的标准方程K—难点求圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系K—易错忽视圆标准方程的结构致错 1．求圆的标准方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法.（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算.对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程.这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件.【例1】写出下列各圆的标准方程．（1）圆心在原点，半径长为2；（2）圆心是直线与的交点，半径长为.【解析】（1）∵圆心在原点，半径长为2，即，∴圆的标准方程为.（2）由题意知圆心是两直线的交点，由，得.∴圆心为，又∵半径长为，∴圆的标准方程为.【例2】过点且圆心在直线上的圆的方程是A．B．C．D．【答案】C【解析】解法1：设所求圆的标准方程为，由已知条件，知，解此方程组，得， 故所求圆的标准方程为.解法2：设点为圆心，因为点在直线上，所以可设点的坐标为．又因为该圆经过两点，所以所以，解得.所以.所以圆心坐标为，半径.故所求圆的标准方程为.解法3：由已知可得线段的中点坐标为，，所以弦的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线的方程为，即.则圆心是直线与的交点，由得，即圆心，圆的半径，故所求圆的标准方程为.2．会判断点与圆的位置关系点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离与圆的半径比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：①，点在圆外；②，点在圆上；③，点在圆内．【例3】已知点(2，0)和(x-2)2 +(y+1)2 =3，则点与圆的位置关系是A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不确定【答案】A 【解析】由于(2-2)2+(0+1)20).(1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a.(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有－点在圆N内，另－点在圆N外，求a的范围. 8．已知三点,,，求的外接圆的方程.9．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2D．(x－3)2＋(y＋3)2＝210．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点(2,3)到圆O上一点的最大距离为________．11．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为_________．12．已知圆C的圆心到x轴的距离是到y轴的距离的2倍，且经过点A(1，0)，B(3，0)，求圆C的方程.13．（2016北京）圆的圆心到直线的距离为A．1B．2C．D．2 14．（2016天津）已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为__________.1234913AABCDC1．【答案】A【解析】圆的圆心坐标为，半径，故选A.2．【答案】A【解析】因为a2＋52＝a2＋25＞24，所以点P在圆外．3．【答案】B【解析】圆心为AB的中点(－1，1)，半径为，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25.4．【答案】C【解析】由题意得，解得，故选C.5．【答案】【解析】由可得，即圆心为，从而，故所求圆的标准方程为. 7．【解析】(1)因为点M(6,9)在圆N上,所以(6－5)2+(9－6)2=a2,即a2=10,又a>0,所以(2)因为=3，,故点P在圆外,点Q在圆内,所以8．【解析】设外接圆的方程为，把代入圆的方程，得，解此方程组，得，故的外接圆的方程为.9．【答案】D【解析】设点(－2，2)关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标为(m，n)，则，解得，所以圆C2的圆心坐标为，所以圆C2的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝2.故选D.10．【答案】5＋ 【解析】点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离加上半径长5，即为5＋．11．【答案】(x－3)2＋(y－4)2＝25【解析】∵，，，∴|MB|＜|MA|＜|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.13．【答案】C【解析】由题意，知圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C.14．【答案】【解析】设，则，故圆的方程为