《圆的标准方程》教学设计（教师用）成都市洛带中学柳青教材分析本节内容位于曲线的方程和方程之后，是求具体曲线的方程。同时，本节课的研究方法为以后学习椭圆、双曲线、抛物线提供了一个基本模式，因此，可以把圆看作是圆锥曲线的前奏曲。学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.学法分析通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求解的过程.根据上述分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：教学目标基础目标：（1）理解圆的标准方程的推导；（2）掌握圆的标准方程。会根据圆的方程，求圆心和半径；反之，会根据圆心和半径写圆的标准方程；（3）根据不同条件建立圆的标准方程,以及运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题；（4）进一步熟悉求曲线方程的方法。提高目标：培养学生数形结合，由特殊到一般的数学思想；加深对待定系数法的理解；促进学生自主的、创造性的学习。体验目标：通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。教学重点与难点(1)重点:圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程
教学过程一、复习引入1、课前复习填写学案（学案见附录）教师设问：①求曲线方程的一般步骤②圆的定义③两点间的距离公式学生回答问题，为圆的标准方程的推导作好准备。2、创设情景引入新课教师准备一圆拱模型和卡车模型，作卡车穿过拱桥的实验。教师设问：装有货物的卡车能否穿过拱桥？与那些因素有关？学生通过观察，找到与圆拱有关，引入新课：研究圆的方程二、探究学习（一）圆的标准方程1、教师预设：让学生画圆学生活动：学生各画一个圆并比较，让学生亲身感知决定圆的要素，说明圆心和半径确定一个圆；2、教师预设：学生画出以（2，3）为圆心，2为半径的圆；圆确定了，圆的方程也就确定了。学生推导该圆的方程教师在学生基础上梳理思路，强调建立方程的依据。3、由特殊到一般，得出以（a,b）为圆心，半径为r的圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2教师引导学生观察方程，分析、归纳出方程的特征。方程特征：（1）二元二次方程，x,y的系数均为1；（2）含有a,b,r三个参数；（3）已知方程可以找出圆心和半径。4、随堂练习教师预设：练习1找出下列圆的圆心和半径（1）x2+(y+1)2=16（2）(2x-2)2+(2y+4)2=4（3）(x+1)2+(y+2)2=m2学生练习，根据圆的方程找圆心和半径，完成后，学生作答。教师据学生情况点评。教师预设：练习2写出下列各圆的方程（1）、圆心在原点，半径为r
（2）、经过在点（5，1），圆心在点（8，-3）学生完成练习并自评，初步体验求圆的标准方程，关键是找到圆心和半径。（一）例题分析教师预设：在练习2基础上巩固提高，根据不同条件求圆的标准方程例1写出圆心在点（1，3），且与x轴相切的圆的方程。学生先独立思考，教师在作提示，强调数形结合的思想。教师口头作简单变式，将X轴改为Y轴。学生说出答案，再由特殊到一般。变式：求以C（1，3）为圆心，和3x-4y-7=0相切的圆。学生独立完成变式，师作简要点评。教师预设：已知切线可求圆的方程，反之，已知圆的方程，如何来求切线的方程呢？例2已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（3,4）的切线方程。学生活动：学生先独立思考，再和其他同学讨论，看能找出几种解法。教师活动：教师巡视，了解学生情况，参与到学生的讨论中。教师请学生展示各自解法，并对学生的解法作出评价，从中提炼出渗透的数学思想和方法，如：数形结合，待定系数等。教师预设：一题多变，改变点的位置，若点在坐标轴上。变式1：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（5,0）的切线方程。学生活动：作图直接写出切线的方程教师预设：由特殊到一般，根据以上两问启发学生分类讨论。变式2：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。学生活动：写出切线方程。教师归纳分类讨论的依据。教师预设：若圆上的点改在圆外，切线有几条？怎样求？变式3：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（1,7）的切线方程。变式4：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（5,3）的切线方程。学生活动：思考问题师强调，待定系数时注意斜率存在。课后思考题：解决本节引入提出的问题三、小结：1、掌握圆的标准方程2、运用圆的标准方程解决一些简单问题四、课堂练习1、圆(2x-2)2+(2y-4)2=（-3）2的圆心为——————————,半径为———————————————.2、圆心在x轴上且与y轴相切，半径为2的圆的标准方程为————————————
1、圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为——————————————2、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程是—————————————————五、布置作业，学生整理消化习题7、61、2、3、4六、板书设计圆的标准方程一、复习二、圆的标准方程例1例2（x-a）2+（y-b）2=r2C（a,b）圆心，r半径附录：《圆的标准方程》学案（学生用）一、复习旧知识1、求曲线方程的一般步骤——————————————————2、圆的定义——————————————————3、两点间的距离公式——————————————————二、圆的标准方程是————————————，其中————————————练习1找出下列圆的圆心和半径（1）x2+(y+1)2=16（2）(2x-2)2+(2y+4)2=4（3）(x+1)2+(y+2)2=m2练习2写出下列各圆的方程（1）、圆心在原点，半径为r（2）、经过在点（5，1），圆心在点（8，-3）例题分析例1、写出圆心在点（1，3），且与x轴相切的圆的方程变式：求以C（1，3）为圆心，和3x-4y-7=0相切的圆。
例2、已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（3,4）的切线方程变式1：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（5,0）的切线方程。变式2：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。变式3：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（1,7）的切线方程。变式4：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（x0,y0）的切线方程。课后思考题：解决本节引入提出的问题一、课堂检测2、圆(2x-2)2+(2y-4)2=（-3）2的圆心为——————————,半径为———————————————.3、圆心在x轴上且与y轴相切，半径为2的圆的标准方程为————————————4、圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为——————————————5、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程是—————————————————课后研究研究材料一：《圆的标准方程》课堂实录（一）复习旧知师：前面我们学习了方程的曲线和曲线的方程，同学们还记得求曲线方程的方法吗？生：（沉默片刻，齐答）记得师：哪几步？生：建系、设点师：设哪个点？生：曲线上的任意一点师：好！第三步（示意学生继续回答）生：找等量关系师：第四步（话音刚落）生：列式、化简师：所得方程就是该曲线的方程。（强调）坐标系是求曲线方程的基本工具。
师：（紧接着问）初中我们就学过了圆，圆是如何定义的？生回忆中师用手比划画圆的动作提示生：（答）到定点的距离等于定长的点的轨迹师：（补充）或点的集合师：第三个问题：两点间的距离公式又是怎样的？生：｜P1P2｜=(x1-x2)2+(y1-y2)2师在学生回答的同时写出公式。师：这些都是我们前面学过的知识，下面请同学们看一下我手里的这个模型。（二）引入新课师拿出一个类似圆拱型的桥洞模型和一个代替卡车的盒子，做卡车穿过圆拱的示范。师：卡车上装有较高的货物，那么，卡车能穿过吗？与那些因素有关？生：卡车的高和圆拱的高师：卡车的货物可以临时调整，但拱桥是事先修建好的，所以最重要的是了解圆拱的高。圆拱的高既是圆的——（等待学生的回答）生：圆的直径。师：那么本节课我们就来研究圆的方程（板书课题）（这里创设的情境与本节课的直接系不是很大！未能体现出为什么要学习园的方程的必要性）（三）探求圆的标准方程1、让学生直观感知决定圆的要素师：请同学们拿出草稿本，画上直角坐标系，取1厘米为单位长度。然后，在你的坐标系中随心所欲的画上一个圆。（师巡视学生画圆的情况）师：同学们相互看一下，你们画的圆一样吗？生：不一样师：（疑惑地）为什么会不一样呢？生：（个别学生）因为人不一样师：（微笑地）对呀，人不同画的圆就有不同，有的在左边，有的在右边，有的在上面，有的在下面，还有的在中间，在坐标轴上，有的大，有的小，等等（语速较快）。导致这些情况的根本原因是什么呢？生：圆心和半径师：（高兴地）非常好！圆心定位置，半径定大小请同学们再画一个以（2，3）为圆心，2为半径的圆。师待学生画好后师：看一下，这次你们画出的圆一样吗？
生：一样师：因为生：圆心和半径都确定了2、推导圆的标准方程师：由曲线的方程和方程的曲线的概念我们应该知道，既然这个圆已经确定了，那么，它的方程也是确定的，这个方程是什么呢？请大家马上求该园的方程。学生独自找探究求该圆的方程，师巡视了解学生情况。待学生完成，请学生作答学生甲：（x-2）2+(y-3)2=4师（追问）：怎么得到的？生口答推导过程，师将其板书在黑板上，并强调P(x，y)是圆上的任意一动点，用到了求曲线方程的基本步骤。师：上面是特殊情况，若我将圆心（2，3）改为（a，b），半径2改为r，此时的方程又是什么呢？生：（x-a）2+（y-b）2=r2师：该方程就称为圆的标准方程。大家看一下这个方程有什么特征，能帮助我们理解和记忆？生思考生1：左边是平方和，右边是r的平方。有点像勾股定理。生2：a，b是圆心的纵横坐标，r是圆的半径。生3：x，y是变量，a、b、r是常数。师：大家观察的仔细，圆的方程确实有点相勾股定理的形式，但它并不是勾股定理。它的实质是两点间的距离公式。大家要明确方程中各个字母的含义。可根据圆的定义和推导的方法来记忆，现在大家闭上眼睛默记一下它的形式与特征。3、即学即练，熟悉圆的标准方程。师：已知圆的标准方程，我们就能够找出圆心和半径。请同学们马上完成练习1。学生练习，师巡视，待学生完成，抽学生作答。针对学生回答情况，师作强调和补充。师：已知圆的标准方程，能够找出圆心和半径；反之，我们能否写出圆的标准方程呢？学生练习2学生自评练习2，师强调，求圆方程的关键是找圆心和半径。4、层层深入，例题分析师：接下来我们再看一下如何根据已知条件求圆的标准方程。给出例1。例1：写出圆心在点（1，3），且与x轴相切的圆的方程。请同学们先思考，并在草稿本上演算。片刻后，发现有的学生无从下手师提示：关键是找什么？
生：半径师：大家在做题时别忘了作个图，利用图形帮助你分析生马上作出图形找到了半径，问题解决。师：这里我们利用图形帮我们很快找出了解题的思路，这就是我们经常要用到的一种重要的数学思想方法——数形结合的思想。师：看图，若该圆与y轴相切，半径是多少？生：1师：OK!你看，圆要么与x轴相切，要么与y轴相切，都很特殊，如果是与任意的一条直线相切呢？出示变式题：变式：求以C（1，3）为圆心，和3x-4y-7=0相切的圆的方程。学生完成例1的变式题生：点到直线的距离即为圆的半径，所以圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=（16/5）2师：很好，那么根据圆心和切线，我们可以求出圆的标准方程，反过来，已知圆的方程，我能否求出切线的方程呢？比如下面的例2。例2、已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（3,4）的切线方程请大家先独立思考，找出思路，再和其他同学讨论一下，看谁找出的方法最多。学生思考讨论中，师巡视。师：很多同学都已经完成了，好，我们一起来分享大家的解法。（学生举手）生甲：可求直线OM的斜率，进而找到切线的斜率，再借助点斜式写出切线的方程。（师根据学生回答在黑板上板书过程）师：好的，不错。还有没有其它的解法？学生乙：设切线的斜率为K，写出切线方程，在用点到直线的距离等于半径列等量关系，求出K的值。师：这种方法称为——生：待定系数法师：这也是我们经常用到的一种数学方法，还有没有其它方法？学生丙：还可以用向量师：向量怎么解？学生丙：切线上任取一点P（x,y），就有OM•MP=0师：哦，所得方程就是切线方程，这种解法再次体现了我们求曲线方程的几个基本步骤。还有没有其它解法？生迟疑师在黑板上比划直角三角形。
生：还可以用勾股定理建立等量关系师：前两法我们是待定系数求K，后两法主要依据求曲线方程的方法。对于前两法我们求K，是因为K存在，如果K不存在呢？你还求得出K吗？比如：将点M（3，4）变为点M（5，0），此时切线方程又是多少？学生作出图形，马上口答生：切线方程是x=5师：如M为（0，-5）呢？生：y=-5师：此时还需要求斜率K吗？生：不需要师：说明点M的位置很重要。好，我们现在将以上特殊情况推广到一般情况，即变式练习2，请同学们完成。变式练习：变式1：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（5,0）的切线方程。变式2：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。变式3：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（1,7）的切线方程。变式4：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（x0,y0）的切线方程学生思考变式练习2，师了解学生情况，给个别学生答疑。（大部分学生完成）师：找到切线方程没有？生：找到了师：是多少生丁：要分类，看斜率是否存在，斜率存在时就和例1一样，斜率不存在时就直接写出切线方程师：非常好！这里我们用到了分类讨论的思想，而分类的依据是因为点M的位置不确定，所以要看点M是否在坐标轴上。现在大家回顾整理一下本题的解题思路（给学生留片刻时间整理本题思路）师：我们刚才的点都是在圆上的，如果点M在圆外呢？这时，切线的方程又该怎样来找呢？请同学们下来思考例2的变式3和变式4，下节课我们再来解决这个问题。师：好，请同学们抬起头来，闭上眼睛，回忆一下本节课所学的内容。学生准备好:师：（轻声地，慢慢地）一是圆的标准方程，它的推导思路和它的特征；二是根据已知条件求圆的标准方程；三是运用圆的标准方程解决一些简单的问题。停顿片刻师：本节课的内容你都掌握了吗？请同学们马上完成课堂练习，自我检测。
下课了，学生还没有做完，请同学们下来继续完成。研究材料二：教学反思圆的标准方程，这节内容我安排了两节课的时间，这节课主要是圆的标准方程的推导和一些简单的运用。在平面解析几何中，我认为这节内容很重要，因为它的研究方法为以后学习圆锥曲线提供了一个基础模式，如果学生掌握得好，后面的学习会轻松许多。由于我所面对的学生初中数学基础还不错，所以在简要复习旧知识后，我引入了生活中的一个常见问题引发学生的疑问，产生认知冲突形成愤悱的氛围，进而提高学生学习本节内容的兴趣。圆的标准方程是求曲线方程的一个具体表现，但学生对圆的标准方程还是很陌生，难以将圆与圆的标准方程紧密联系起来。基于此，我想通过学生的切身体验；来发现圆的决定要素，让学生明确一个圆对应一个方程，在此基础上借助求曲线方程的基本步骤,由学生自主探究推导出以（2,3）为圆心，2为半径的圆的标准方程，再由特殊到一般，利用化归的思想归纳出以（a,b）为圆心,r为半径的圆心的标准方程。并引导学生找出方程的特征，以帮助学生理解和记忆，及时掌握。例题教学的设计，还是紧密围绕圆的标准方程这一目标展开，主要加深对圆的标准方程的理解及一些简单的应用。例题安排不多，但变式较多，变式的设计由特殊到一般，由简到繁，由浅入深，层层入深，让学生的思维得以提高,比较符合学生的认知规律,这样学生接受起来比较容易。课堂练习，是对本节课目标落实情况的检测，让学生明确本节课应该到达什么样的目标，题不多,很基础，主要是激发学生的兴趣和增强学习的自信。整个教学设计，我的希望是以学生自主学习为主，所以很多问题都由学生独立思考或讨论完成，教师仅仅是一个引路人，让学生的主体地位得到充分体现，注重学生思维的形成过程,并将数学思想方法渗透到教学中。
总的来说，这节课几乎是按自己的教学设计在进行，而且顺利地完成了。应该说在学生动手，双基落实方面还不错，学生的活动也比较充分，教师仅是及时的引导和点评，让学生的主体性得到了较为充分的体现。另外，在教学中不断的渗透数学思想和方法，让学生思维得到提升。当然，这节课还有很多不足的地方。比如：在变式练习时，未写出切线的方程，缺乏解题和板书的完整性；另外，后面的课堂练习也没有得到及时的反馈，这是较遗憾的。从这堂课的教学设计和教学的过程中，我得到了锻炼和提高，这对我在今后的教学有很大的帮助。
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