直线与圆的标准方程

 一、教学内容解析   《高中课程标准实验教科书数学必修2（人教A）》第四章第4．2节《直线与圆的位置关系》主要介绍了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线与圆的方程的应用等内容，大致安排四课时教学．   本节课是第4．2节第一课时内容，是继学生学习了直线方程、直线与直线的位置关系、圆的方程等之后，用解析法研究直线与圆的位置关系．   在平面几何对直线与圆之间的关系进行了定性的研究，即依照它们公共点的个数来判定它们的位置关系．但在实际问题中，我们会经常遇到直线与圆的位置关系的定量刻画问题，如当直线与圆有公共点时，其公共点的准确位置的确定问题，这是平面几何没有解决好的问题．学习了坐标法后，可以通过建立平面直角坐标系，使得直线与圆可以用方程表示，从而将直线与圆的位置关系的研究转化为直线的方程与圆的方程之间的数量关系的研究．当直线与圆有公共点时，公共点位置的确定就转化为求解直线的方程与圆的方程的公共解．   依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系，是运用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后比较这个距离与圆的半径的大小，并作出位置关系的判断，仍然是用坐标法解决问题（几何意义相对直观些）．研究直线与圆的位置关系，一是从几何角度直观判断，二是通过直线与圆的方程从“数”的角度进行研究．这体现了数形结合的思想．本节课教学重点：用解析法判断直线与圆的位置关系． 二、教学目标解析1．了解直线与圆的三种位置关系的含义及图示．2．会用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d，并根据d与半径r的大小判断直线与圆的位置关系．3．理解直线与圆的位置关系可以通过直线与圆的方程所组成的方程组的解的个数来确定．4．当直线与圆有公共点时，能通过联解方程组得出直线与圆的公共点的坐标．5．当直线与圆相交时，会求圆的弦长，以及能解决与弦长相关的简单问题．6．通过直线与圆的位置关系的代数化处理，使学生进一步认识到坐标系是联系“数”与“形”的桥梁，从而更深刻地体会坐标法思想．三、教学问题诊断 学生在初中平面几何中已经接触过直线与圆的位置关系，学习了直线方程、圆的方程、两直线的位置关系以及点到直线的距离之后，具备利用方程研究两条直线的位置关系的基本能力．为什么要对直线与圆的位置关系进行定量刻画？这是学生学习时可能遇到的第一个学习障碍．这个问题可以结合“台风问题”进行说明：我们如何刻画轮船开始受台风影响的位置？这是平面几何没有解决的问题，必需借助坐标系，才能精确刻画．利用直线的方程与圆的方程进行直线与圆的位置关系的研究时，会遇上求方程组的解，求圆心到直线的距离等大量的代数计算问题，由于有些问题（特别是像台风这样的实际问题）中的数据较复杂，可能导致学生计算出错，这是第二个学习障碍，也是教学难点之一．教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，必要时可使用信息技术工具解决这个问题．本节课教学难点：理解可以通过直线与圆的方程所组成的方程组的解来确定它们的位置关系． 四、教学过程设计1．问题情境问题1．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？设计意图：让学生感受台风这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案．通过实际问题引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义．师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．师：你怎么判断轮船受不受影响？生：台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交．师：（板书标题）这个问题，其实可以归结为直线与圆的位置关系．学生解决方法一：设O为台风中心，A为轮船开始位置，B为港口位置，在OAB中，O到AB的距离=，因此受影响．2．揭示课题——直线与圆的位置关系 问题2．前面问题可以转化为直线圆的位置关系问题．请问，直线与圆的位置关系有几种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解．师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程．可以展示下面的表格，使问题直观形象．直线与圆的位置关系公共点个数与的关系图形相交两个相切一个相离没有 3．直线与圆位置关系的判断问题3：方法一是用平面几何知识判断直线与圆的位置关系，你能根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系吗？设计意图：引导学生用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，体验坐标法的思想方法．师生活动：通过教师追问，引起学生思考．师：要求圆与直线的方程，首先要建立坐标？那如何建立坐标？生：以台风中心为原点，以东西方向为轴，建立直角坐标系．师：（追问）坐标系还可以有其他建法吗？生：以港口所在位置为原点，……以轮船所在位置为原点．（选择一种，师生共同完成）方法二：如图，以台风中心为原点，以东西方向为轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度．则台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为，圆心O（0，0），半径5，轮船航线所在的直线的方程为， ，直线与圆相交．问题4：这是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判别直线与圆的位置关系（称此法为“法”）．请问用“法”的一般步骤如何？设计意图：对判断直线与圆的位置关系步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”培养归纳能力，同时也渗透了算法思想．师生活动：教师引导学生分析归纳：（1）建立平面直角坐标系；（2）求出直线方程，圆心坐标与圆的半径；（3）求出圆心到直线的距离（4）比较与的大小，确定直线与圆的位置关系．①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交． 问题5：对于平面直角坐标系中的直线和，联立方程组，我们有如下一些结论：①与相交，方程组有唯一解；②与平行，方程组无；③与平行，方程组有无穷组解．你能用类比的思想，研究直线与圆的位置关系吗？设计意图：让学生通过对两条直线的位置关系的研究过程，回顾坐标法思想的重要作用．并通过类比，使学生获得用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论．抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法．师生活动：教师提出问题，引导学生得出： 联立方程组，我们有如下一些结论：①圆与直线相切，方程组有唯一解；②圆与直线相交，方程组有两组解；③圆与直线相离，方程组有无解．方法三：联立方程组，消去，得，因为．所以，方程组有两组解，直线与圆相交．问题6：根据方程组是否有解来判断直线与圆的位置关系的步骤如何？设计意图：根据方程组是否有解来判断直线与圆位置关系的步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想．师生活动：教师引导学生分析、归纳：（1）将直线方程与圆方程联立成方程组；（2）通过消元，得到一个一元二次方程；（3）求出其判别式△的值；（4）判断△的符号：若△＞0，则直线与圆相交；若△＝0，则直线与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离． 问题7：我们研究了判断直线与圆的位置关系的方法，可以用平面几何知识定性刻画，也可以用解析几何的知识，根据直线与圆的方程来刻画．如果要求轮船在哪个具体位置开始受到台风影响，如何刻画？设计意图：体验平面几何与解析几何的各自解法．平面几何可以定性刻画，解析几何可以精确刻画，体验坐标法的优越性．师生活动：教师引导，师生共同解决．生：求出交点，就是开始受影响的位置．   　解出：x=3,y=4或x=4,y=3．  　即，在台风中心的东30，偏北40处，开始受到影响． 师：一般来说，平面几何可以定性的刻画直线与圆的位置关系，但在精确刻画它们位置关系时，解析几何就显得“得心应手”，显示出它的优越性． 4．例题示范例1 如图，已知直线：和圆心为的圆，（1）判断直线与圆的位置关系；（2）如果相交，求它们交点的坐标．设计意图：通过例题巩固判断直线与圆的位置关系方法，关注量与量之间的关系．使学生体验用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论．师生活动：教师引导学生分析解答．分析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径大小的关系，判断直线与圆的位置关系．问题8在判断直线与圆的位置关系的不同方法中，你选择哪一种？设计意图：两种方法的选择，体验各自的优越性和其中蕴含的思想方法．师生活动：学生讨论选择． 5．弦长问题例1变式：求弦AB的长度．设计意图：直线与圆的位置关系，当他们相交时，学习弦长的求法．师生活动：学生思考解决，可能有两种方法：方法一：因为两个交点坐标分别是，所以用两点距离公式．方法二：构造直角三角形，先求弦心距，再求弦长．例题2：已知过点M（－3，－3）的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程．生：先独立解决，然后看课本，规范解题．师：设直线方程为，它的前提是斜率存在．对于斜率不存在的情况用几何画板演示．（答案为：x＋2y＋9＝0，或2x－y＋3＝0） 6．课堂小结 问题9 判断直线与圆的位置关系有哪些方法?问题10当直线与圆相交时,如何求弦长?设计意图：巩固所学知识，培养学生归纳概括能力．师生活动：学生思考，教师引导时应涉及到“如何求弦长”以及判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的步骤是什么？ 五、教学目标检测1．判断直线与圆的位置关系，如果有交点，求出交点坐标．2．求圆被直线所截得的弦长．3．已知直线：和圆：，当实数取何值时，直线与圆相交？相切？相离？分析：可以通过圆心到直线的距离与半径的大小关系来求解，也可以通过解方程组是否有解来解答．解题时可以借助图形直观理解．