《圆的标准方程》教学设计

《圆的标准方程》教学设计（教师用）成都市洛带中学 刘德军一、教材分析学习了“曲线与方程”之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。二、学情分析学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在上章学习了曲线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。三、教学目标(一)知识与技能目标（1）会推导圆的标准方程。（2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。（3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程。(二)过程与方法目标（1）体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。（2）能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。(三)情感与态度目标圆是基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；圆在生活中很常见，通过圆的标准方程，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．四、重点、难点、疑点及解决办法1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。2、难点：圆的标准方程的应用。3、解决办法：充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。五、教学过程首先通过课件展示生活中的圆，那么我们今天从另一个角度来研究圆。(一)复习提问在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆)．9 问题2：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；（如图）(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．(二)建立圆的标准方程1．建系设点由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2．(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．这时，请大家思考下面一个问题．问题4：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．(三)圆的标准方程的应用学生练习一：1说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(2x+4)2+(2y－4)2=8；9 (3)(x+2)2+y2=m2（m≠0）教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．2、(1)圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________.（2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（）Ax2+y2=25Bx2+y2=5C(x+3)2+(y+4)2=25D(x-3)2+(y-4)2=25教师纠错，分别给出正确答案：2、(1)(x-3)2+(y＋3)2=4；（2）D.指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．例1求满足下列条件各圆的方程：（1）求以C(1,3)为圆心，并且和直线相切的圆的方程（2）圆心在x轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。解：（1）已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式，得因此，所求的圆的方程是（2）设圆心在x轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y2=25∵点A（2，3）在圆上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6∴所求圆的方程为(x＋2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25这时，教师小结本题：求圆的方程的方法(1)定义法(2)待定系数法，确定a，b，r；学生练习二：1、以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.教师纠错，分别给出正确答案：(x－3)2+(y+5)2=32。例2已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程解：如图，设切线的斜率为，半径OM的斜率为因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是∵∴(让学生注意斜率不存在时和为0的情况)9 经过点M的切线方程是，整理得因为点在圆上，所以，所求切线方程是法二：勾股定理法三：向量变式一：已知圆的方程为x2+y2=1，求过点(2,2)的切线方程。变式二：已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1，求过点(2,2)的切线方程。学生练习三：1.已知圆求：（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________.（2）过点B（-5，2）的切线方程是_________________教师纠错，分别给出正确答案：(1)4x-3y=25；(2)x=-5或21x-20y+145=0(四)本课小结1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法．4.数型结合的数学思想5.过定点求圆切线方程.（五）、布置作业习题7.61，2，3（六）、板书设计7.6圆的标准方程一、建立圆的标准方程1、圆的方程的推导(x-a)2+(y-b)2=r22、圆的标准方程的特点:圆心（a,b）定位，r定型二．圆的标准方程的应用例1例2学生练习六、教学反思：为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题其基本教学模式是：9 复习旧知以旧悟新提出问题尝试探究例题示范探求方法反馈练习学会应用点评矫正总结交流《圆的标准方程》学案（学生用）课堂练习1、说出下列圆的圆心和半径：(1)(x-3)2+(y-2)2=5；圆心_______,半径________.(2)(2x+4)2+(2y－4)2=8；圆心_______,半径________.(3)(x+2)2+y2=m2（m≠0）圆心_______,半径________.2、(1)圆心是（3，4），半径是2的圆是_________________.（2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（）Ax2+y2=25Bx2+y2=5C(x+3)2+(y+4)2=25D(x-3)2+(y-4)2=253．以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.4.已知圆求：（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________.（2）过点B（-5，2）的切线方程是_________________考题在线（思考题）1、（2007湖南理）圆心为且与直线相切的圆的方程是．2、（2006杭州期末）求与直线y=x相切，圆心在直线y=3x上，且过点（，）的圆。9 3、（2007湖北文）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．C．D．4、已知点在圆内，则与圆的位置关系是_____________.《圆的标准方程》（课堂实录）成都市洛带中学 刘德军师：让我们来看一下生活中常见的一些事物（通过课件展示生活中的圆），这些都是什么图形？生：圆。师：对，远在我们生活中很常见，也代表着很美的东西，完美无缺，十全十美，都是指的圆，圆是很美的曲线，那么我们今天从另一个角度来研究圆。(一)复习提问师：在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？生：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.师：这是高中的概念。（教师在课件上画圆)改变半径大小，和圆心的位置，圆发生了变化，这说明了什么？生：半径决定大小，圆心决定位置。师：对：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？生：圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小。师：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？生:求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；（如图）(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．9 师：下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．（请一位同学板演）生：因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．由两点间的距离公式得：将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2．(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．师：非常好，有无不同建立坐标系的方法．生：有，圆心为坐标原点。师：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，我们主要研究一般情况．请大家思考下面一个问题．圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？生：这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为x2+y2=r2．师：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．那么下面来做一下练习。1说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(2x+4)2+(2y－4)2=8；(3)(x+2)2+y2=m2（m≠0）师：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．2、(1)圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________.（2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（）Ax2+y2=25Bx2+y2=5C(x+3)2+(y+4)2=25D(x-3)2+(y-4)2=25生：(1)(x-3)2+(y＋3)2=4；（2）D.师：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．那么我们再来看一下这一道题例1求满足下列条件各圆的方程：（1）求以C(1,3)为圆心，并且和直线相切的圆的方程（2）圆心在x轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。师：如果要求一个圆，你要找些生么？生：圆心和半径。师：但是（2）中能不能直接找到圆心？生：不能。是：那用什么方法呢？生：待定系数法。师：非常好，下面同学们自己算一算。9 生（板演）：解：（1）已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式，得因此，所求的圆的方程是（2）设圆心在x轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y2=25∵点A（2，3）在圆上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6∴所求圆的方程为(x＋2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25师：求圆的方程的方法(1)定义法(2)待定系数法，要确定a，b，r；我们来做做练习。1、以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.生：(x－3)2+(y+5)2=32。师：上一题，我们是知道圆的切线，求圆的方程，那我能不能把原来的结论和条件互换一下，知道圆，秋切线方程？下面我们来看一下例2例2已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程师：该怎么做呢？生：知道点M,找斜率。师：还应该注意些什么？生：斜率不存在时。师：为了避免这些，我们可不可以用其他的方法来做。生思考后：勾股定理，向量。师：（把学生分成三组分别用三种方法做）最后得出：师：这个点是在圆上，如果是在圆外又该怎么做呢？（提示学生用待定系数法）变式一：已知圆的方程为x2+y2=1，求过点(2,2)的切线方程。变式二：已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1，求过点(2,2)的切线方程。师：同学们来做一下练习1.已知圆求：（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________.（2）过点B（-5，2）的切线方程是_________________生：(1)4x-3y=25；(2)x=-5或21x-20y+145=0师：我们这节课学习了些什么呢？生：9 1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法．4.数型结合的数学思想5.过定点求圆切线方程.9