圆的标准方程的教学设计

圆的标准方程的教学设计一、教学设计理念课堂是师生互动的一种生命体验与体悟，追求一种绿色的、自然的、富有生命力的数学课堂，强化“以人为本”的理念，刷新“教师权威”的角色，改变唱“独角戏”的角色，做学生学习过程中的引导者、指导者、组织者、帮助者、合作者与“高级伙伴”，追求一种民主平等的对话语境，营造师生、生生的互动和交往的和谐环境。因此，在目标上，突出数学活动经验、思想方法和情感态度目标的有机融合；在资源上，突出“学生主体”的意义与价值，倡导“学道尊严”，改变学生被动“看戏”的地位，大力发挥学生在学习过程中的自主性、独立性、创造性等主体性价值以及学习资源的作用；在内容上，整合教学内容，创造性使用教材，使教学内容源于教材又高于教材。在过程上，先学后教，线索饱满，纵横有致，做到明线鲜明、暗线不虚。“明线鲜明”即指“建模——释模——用模”的基本教学主线，凸显数学知识的发生与发展，数学知识的再“创造”。“暗线不虚”即指数学课堂不仅是知识的传授（给学生吃鱼），应该是教会去捕鱼，更应该去发现新的捕鱼方法。因此应该渗透学习方法的引领、良好习惯的养育、数学思想方法的体悟。这些暗线，需要教师画龙点睛，帮助学生高效学习数学。二、学情分析（一）学习的逻辑起点对于圆学生是在初中初步了解了圆的有关知识后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行学习的。本节将在上章学习了曲线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。（二）学习的经验起点本节课是针对普通高中学校实验班的学生进行设计的，该班的学生学习积极性较高，基础知识比较牢固，并具有较好的自主学习能力。学生在过去的学习中应经了解了圆的圆的概念和基本性质。在这样的基础上由引导学生推导出圆的标准方程。三、教材分析（一）教材的地位与作用8 《圆的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，同时，通过用坐标法研究圆，可以进一步领会用代数方法处理几何问题的思想。(二)重难点及突破方法教学重点:圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。突破方法：通过与学生一起复习圆的基本概念和引导学生求圆的轨迹方程，运用从特殊到一般的研究方法，让学生掌握圆的标准方程的推导及其特征。教学难点： 圆的标准方程的应用突破方法：待学生对圆的标准方程有了初步认识之后，充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。四、教学目标（一）知识与技能目标（1）掌握圆的标准方程；（2）会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；（3）利用圆的标准方程解决简单的实际问题。（二）过程与方法目标（1）进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；（2）加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用。（三）情感态度与价值观目标（1）通过参与本课的学习与经历，养育良好的学习习惯，树立有效学习的理念，体会高效学习的价值；（2）在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。五、教法和学法分析（一）教法分析根据本节课特点、学情以及目标设计，采用问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法，设计“比较与分析”、“归纳与概括”、“解释与评价”、“应用与反思”等活动，凸显“建模——释模——用模”这条明线，同时注重引导学会学习这条暗线，促进全体学生全面参与，为各类学生搭建认知发展跃进、有效和高效学习提供有效支点。（二）学法分析8 数学课堂不仅是知识的传授（给学生吃鱼），应该是良好学习习惯的养育，有效学习方法和策略的积淀（教会学生去捕鱼，教会学生去发现新的捕鱼方法）。因此教学过程应该渗透学习方法的引领，良好学习习惯的养育，数学思想方法的体悟。这些需要教师画龙点睛和引领：通过让学生参与教学过程，有意识养育学生良好的学习习惯（如阅读教材的好习惯，猜想验证、反思解题的好习惯），有意识指导学生应用有效的学习方法进行学习（如何观察与分析、归纳与概括、联想与类比等）。六、教学过程设计问题驱动，导入新课小结收获，反思学习举例归纳，运用模型探求新知，解释模型（一）问题驱动，导入新课【师生互动过程】教师向学生提出问题，通过让学生回忆旧知识并解决问题的过程，引导学生积极思考问题的同时引出本节课的课题，向学生呈现知识的自然发生过程，对知识的掌握达到“知其源”的水平。问题1：同学们，我们在初中已经学过了圆的概念，那么具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆。问题2：圆C中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小。问题3：大家回忆一下求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；（如图）(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；8 (3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．问题4：圆作为一种特殊的曲线，它的方程是什么样的呢？1．建系设点由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得：．(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程，这个就是今天要学的内容，圆的标准方程。板书课题：圆的标准方程【设计意图】设计有挑战性的任务及问题，激发学生认知冲突，驱动学生参与学习过程，感受学习的必要性。通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求a、b、r的过程.（二）探求新知，解释模型【师生互动过程】从特殊到一般的认知规律探索圆及其圆心、半径，通过观察与提问、分析与归纳、猜想与验证等活动掌握圆的标准方程并理解它的结构特征，使学生对知识掌握达到“会其神”的水平。问题5：写出下列各圆的标准方程：8 ①圆心在原点，半径为3的圆；②圆心在点的圆，半径为.问题6：指出下列方程表示的圆心坐标和半径：①；②.【设计意图】问题5是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，问题6是给出圆的标准方程求圆心坐标和半径，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究圆的切线问题作准备.（三）举例归纳，运用模型例1：求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程.解：已知圆心坐标，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程.因为圆C和直线相切，所以半径r就等于圆心C到这条直线的距离，根据点到直线的距离公式，得.因此，所求的圆的方程是.例2：已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程.解法一：利用斜率求解8 如图1，设切线的斜率为，半径OM的斜率为因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是。(让学生注意斜率不存在时和为0的情况)经过点M的切线方程是，图1整理得，.因为点在圆上，所以，所求切线方程是.解法二：利用勾股定理求解如图2，设直线上不用于的一点图2解法三：利用向量求解如图2，舍切线上的任意一点P的坐标8 变式1：求圆过点的切线方程.变式2：求圆过点的切线方程.【设计意图】例2的变式1是例2的具体化，引导学生可以从特殊到一般，把圆的切线方程求出来。变式2是求过圆外一点的圆的切线方程，由于学生刚刚归纳了过圆上一点圆的切线方程，因此很容易产生思维的负迁移，另外这道题目有两解，学生容易漏掉斜率不存在的情况，这时引导学生用数形结合的思想，结合初中已有的圆的知识进行判断，这样的设计对培养学生思维的严谨性具有良好的效果。（六）小结收获，反思学习把圆的标准方程与过圆上一点圆的切线方程加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法①圆心为，半径为r的圆的标准方程为：；圆心在原点时，半径为r的圆的标准方程为：.②已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：.（七）布置作业巩固型作业：习题7.6/1,2,4思维拓展型作业：试推导过圆上一点的切线方程.【设计意图】作业由巩固型作业和思维拓展性作业组成，以两种形式的作业8 作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了。激励学生自主学习，扫清认知盲点，体验学习的乐趣。（八）板书设计圆的标准方程五．布置作业三．圆的标准方程的应用例1例2一．圆的标准方程的推导四.归纳小结二．圆的标准方程的特点圆心C（a,b）,半径r七、评价设计本节课通过让学生亲自动手推导，探索圆的标准方程并加深记忆，其中渗透着数形结合、特殊到一般的数学思想和研究方法，数形结合让公式的呈现过程更加形象直观，从特殊到一般的研究方法探索圆的标准方程，符合学生的认知规律，结合变式练习让学生在掌握过一点求圆的切线方程的方法。教学时，要善于把它们联系起来看，结合起来用，以提高教学实效。可见，不同的数学思想方法并不是彼此孤立、互不联系的，较低层次的数学思想方法经过抽象和概括，便上升为较高层次的数学思想方法，而较高层次的数学思想方法则对较低层次的数学思想方法有着指导意义，其往往是通过较低层次的思想方法来实现自身的运用价值[2]。通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。在学生讨论、交流、协作时，通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查缺补漏。在整节课中以发展学生智慧为中心，养育学生既聪明又文明、既通情又达理、既和谐又创新的智慧品质。教学坚持全脑学习原则和数学活动原则。通过情商策略系统、会学策略系统和创造策略系统促进智慧成长。追求智慧树教学不仅仅是使学生掌握数学基本知识与基本技能，更加重要的是亲历丰富的数学基本活动，经受到理智挑战和内心震撼，收获感动和鼓舞，丰富情感与体悟，领会数学基本思想与方法，感受数学的真、善、美，使学生受益无穷。8