新人教A版必修2 高中数学 4.1.1 圆的标准方程式 教案

学习必备欢迎下载圆的标准方程教学目标(一)知识目标1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。(二)能力目标1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；2.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力.(三)情感目标充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。教学重、难点(一)教学重点圆的标准方程的理解、掌握。(二)教学难点圆的标准方程的应用。教学过程Ⅰ.复习提问、引入课题师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？精品学习资料可选择pdf第1页，共6页----------------------- 学习必备欢迎下载生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M︳p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。［多媒体演示］师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］222师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x+y=5即22x+y=25.若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？222生：x+y=r.师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？222生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即，亦即x+y=r.222师：x+y=r表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，由两点间的距离公式得222即：（x-a）+(y-b)=rⅡ.讲授新课、尝试练习精品学习资料可选择pdf第2页，共6页----------------------- 学习必备欢迎下载222师：方程（x-a）+(y-b)=r叫做圆的标准方程.222特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x+y=r.师：圆的标准方程由哪些量决定？生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。1、写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］①圆心在原点，半径是3：________________________②圆心在点C（3，4），半径是：______________________③经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________2、变式题［多媒体演示］①求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。22答案：(x-1)+(y-3)=222②已知圆的方程是(x-a)+y=a,写出圆心坐标和半径。答案：C（a,0）,r=|a|Ⅲ.例题分析、巩固应用师:下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.22［例1］已知圆的方程是x+y=17，求经过圆上一点P（，）的切线的方程。师：你打算怎样求过P点的切线方程？生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。师：斜率怎样求？精品学习资料可选择pdf第3页，共6页----------------------- 学习必备欢迎下载生：。。。。。。师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看（如图）生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数半径OP的斜率K1＝，所以切线的斜率K＝－＝－所以所求切线方程：y-=－(x-)即：x+y=17(教师板书)22师：对照圆的方程x+y=17和经过点P（，）的切线方程x+y=17，你能作出怎样的猜想？生：。。。。。。22师：由x+y=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P（，）有何关系？（若看不出来，再看一例）/22［例1］圆的方程是x+y=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。答案：2x+3y=13即：2x+3y－13＝0师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答）生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！2生：xox+yoy=r.师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？生：。。。。。。精品学习资料可选择pdf第4页，共6页----------------------- 学习必备欢迎下载222［例2］已知圆的方程是x+y=r，求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数∵半径OP的斜率K1＝，∴切线的斜率K＝－＝－∴所求切线方程：y-yo=－(x-xo)222即：xox+yoy=xo+yo亦即：xox+yoy=r.(教师板书)当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。2归纳总结：圆的方程可看成x.x+y.y=r,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo替换，可得到切线方程［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）引导学生分析，共同完成解答。师生分析：①建系；②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方程求A2P2的长度。解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为222（0，b）,半径为r，那么圆的方程是x+(y-b)=r.∵P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：精品学习资料可选择pdf第5页，共6页----------------------- 学习必备欢迎下载22解得：b=-10.5,r=14.5222∴圆的方程为x+(y＋10.5)=14.5.将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程且取y>0得：y=≈14.36-10.5=3.86(M)答：支柱A2P2的长度约为3.86M。Ⅳ.课堂练习、课时小结课本Ｐ77练习2，3师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题.Ⅴ.问题延伸、课后作业222(一)若P（xo,yo）在圆（x-a）+(y-b)=r上时，試求过P点的圆的切线方程。课本Ｐ81习题7.7:1，2，3，4(二)预习课本Ｐ77～Ｐ79精品学习资料可选择pdf第6页，共6页-----------------------