圆的标准方程一般方程参数方程

7.6圆的方程(1)教学目的：2、3、使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径能根据不同的条件，利用待定系数法、定义法求圆的标准方程能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题求曲线方程的一般步骤为：建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点対的坐标;写岀适合条件戶的点〃的集合；(可以省略，直接列出曲线方程)用坐标表示条件P(.■W,列出方程/(x,y)=0;化方程/(x,y)=0为最简形式；证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点一、复习引入：1、具有什么性质的点的轨迹是圆？(圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆)2、(1)(2)(3)(4)(可以省略不写，如有特殊情况，可以适当*(5)予以说明)二、讲解新课：1、己知圆心为C(a,b),半径为尸，如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：(x-a)2+(y-h)2=r2这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2若圆心在坐标原点上，这时a=h=0,则圆的方程就是x2+/=r23、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r>0,圆的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定厂，可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1求以C(l,3)为圆心，并且和直线3x-4y-l=0相切的圆的方程解：己知圆心坐标(XI,3),故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程。因为圆C和直线3兀—4y-7=0相切，所以半径厂就等于圆心C到这条直线的距离，根据点到直线的距离公式，得r=l3jl-4x3-7|=^佃+(一4)25(—1)2+0-3)2=爹因此,所求的圆的方程是求以C(l,3)为圆心，且和直线3x-4y-6=0截得的弦长为8的圆的方程。在求圆的方程时，要注意运用圆的几何意义，使问题解决简化)变式：(注：例2已知圆的方程x2+y2=r2,求经过圆上一点M(兀(),％)的切线方程分析：此题关键是求切线的斜率，为此须分两种情形讨论。解：如图，设切线的斜率为半径0M的斜率为因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是“J经过点M的切线方程是整理得兀0%+儿)'二兀o~+儿・k一乂••A.—X)y~-_~(x-x0),y()2.2 因为点M(x0,>0)在圆上，所以^02+>02=f2»所求切线方程是兀0兀+)‘0)'=厂点评：1、“待定系数法”：即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关于兀或y的一元二次方程，利用判别式进行求解。但此法不如用几何方法简练实用。几何方法：利用圆心到直线的距离等于半径(本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识)，由此确定了斜率的，从而得到点斜式的切线方程。以上两种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补。2、若圆的方程是：(x—a)2+(y—b)2=尸，M(兀0，儿)是圆上一点，则过M的切线方程是：%ox+yoy=r2o例3.求过点M(3,l),且与圆(x-l)2+y2=4相切的直线/的方程.解一：(待定系数法)设切线方程为y-l=k(x-3),即匕-y-3£+l=0,・・•圆心(1,0)到切线/的距离等于半径2,=2,解得k」,3・・・切线方程为y-l=——(x—3),即3x+4y—13=0,~4当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x=3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径解二：利用切线方程公式，关键是求出切点坐标。例4・一圆过原点O和点P(l,3),圆心在直线)=x+2上，求此圆的方程。(学生思考、探索不同解法)解法一：(待定系数法)・・•圆心在直线y=x+2上，・・・设圆心坐标为(d,d+2),则圆的方程为(x-OF+(y-d—2尸二宀・・•点0(0,0)和P(l,3)在圆上，2(0-a)2+(0-a-2)2=r(l-^)2+(3-«-2)2=r2解得r2251725所以，所求的圆的方程为(尤+才)~+(y—才)~=13解法二(定义法)由题臥圆的弦"的斜率为3,中点坐标为(就,311・•・眩OP的垂直平分线方程为y--=--(x--),即x+3y_5=0,・・・圆心在直线y=兀+2上，且圆心在弦OP的垂直平分线上，1y=x+2二3宀0解得x——4,即圆心坐标为C74425~84又・・•圆的半径r=|OCi=J(~)2+(^)2=所以，所求的圆的方程为(x+—)2+(y——)2=•例5.已知一圆与y轴相切，在直线y二兀上截得的弦AB长为20,圆心在直线x—3y=0上，求此圆的方程.解：•・•圆心在直线兀一3y=0上，・・・设圆的方程为(x-3a)2+(y-a)2=r2f・・•圆与y轴相切,:.r=3\a\,又圆心到弦AB的距离为=V2|«|, "+(-1)2 A(V2|a|)2+(V7)2=(3|a|)2,/.a=±l,r=3,所以，所求的圆方程为(x—3)2+0—1)2=9或(x+3)2+(y+l)2=9.说明：(1)求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程(少设未知数)，再用其余的条件求待定的系数；四、课堂练习：P77T1、2、3、42^已知圆X1+y2=25,求：(1)过点力(4,-3)的切线方稈(2)过点B(-5,2)的切线方程分析：求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在时，结合图形验证；当然若过圆上一点的切线方程，可利用公式兀0兀+儿丿=八求得解：(1)J点〃(4,-3)在圆x2+y2=25上・・・过点力的切线方程为：4x—3y—25=0(2)J点〃(-5,2)不在圆x2+y2=25±,当过点B(-5,2)的切线的斜率存在时，设所求切线方程为y-2=R(x+5),即也—y+5R+2=05R+2ci由;=5,得k=—.：.此时切线方程为：21x-20y+145=07FTT20当过点2/(-5,2)的切线斜率不存在时，结合图形可知兀=-5,也是切线方程综上所述，所求切线方程为：2"-20『+145=0或兀=-5五、小结:1.圆的标准方程的概念及推导；2.如何求圆的标准方程：待定系数法、定义法3.求圆的切线方程的常用方法：公式法、待定系数法。團的方程(谢的一叙方程丿教学目标：1.掌握圆的一般方程，知道它的特点；2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径;3.能用待定系数法由己知条件求出圆的方程.教学过程：(一)复习：1、写出圆的标准方程?(x-a)2^-(y-b)2=r2.2、求圆的方程的方法？3、经过一点求圆的切线方程的方法？(二)新课讲解：1.圆的一般方程将上述标准方程展开，整理，得F+y2一2处一2by+/+夕一宀o,可见，任何一个圆的方程都可以写成卜2++Dx+Ey+F=0|的形式。①反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？(学生思考、探索).厂、占1亠zD-)EtD~+E~—4F将①配方得：(x+—)~+()，+—)「=・②224把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出： (1)当D2+E2-4F>0时,(2)当D2+E2-4F=0时,当D2+E2-4F0吋,|7»1方程①表示以(一一,一一)为圆心，一+为半径的圆;222nF方程①表示一个点22方程①不表示任何图形.方程①表示一个圆，此吋，我们把方程①叫做圆的一般方程.(3)结论：2.圆的一般方程形式上的特点：(1)兀2和y2的系数相同，且不等于0；(2)没有xy这样的二次项.以上两点是二元二次方程Ajc^Bxy^Cy2^Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件，但不是充分条件.充要条 件是？(A=CHO,B=0,D2+£2-4FA>0)说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求岀三个系数D、E、F就可以了.2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？(圆的标准方程：有利于作图。一般方程：有利于判别二元二次方程是不是圆的方程)(一)例题分析：例1.求过三点0(0,0)、M|(l,l)、A/2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求的圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,・・・0(0,0)、M|(l,l)、M2(4,2)在圆上,D=-SF=0,・・・+E+F+2=0,4D+2E+F+20=0・・••所求的圆方程为F+y2一张+6y=0,圆心坐标为(4,-3),半径为r=lVr>2+E2-4F=5.注意：⑴由于所求的圆过原点，可设原的方程为x2+y2^-Dx+Ey=0；⑵本题也可以换一种说法：已知QOM}M2中，三个顶点的坐标分别O(0,0)、冋(1,1)、M?(4,2),求4OM}M2的外接圆的方程.例2.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为丄的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.解：设M(兀y)是曲线上任意一点，由题意:・・・3+$=丄,化简得兀2+)异+2兀_3=0,①V(x-3)2+y2这就是所求的曲线方程.把方程①配方得：(x+ir+b=4,所以方程①的曲线是以(-1,0)为圆心，2为半径的圆.(作图)注意：本题也可以一般化已知一曲线是与两个定点力、B距离的比为2(2>0)的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.提示：以直线为兀轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设AB=2«(6/>0),则可以按照上例的方法求解。可得：(1_才)++(1_才))“_2d(l+”)兀+/(1_才)=0要注意讨论A对曲线的形状的影响.例3・已知圆甘+)?2_无_8)，+加=0与直线无+2〉，_6=0相交于卩、0两点，定点7?(1,1),若PR丄QR,求实数加的值.解：设P(兀],必)、Q(x2,y2),由F+y2__8y+“0,消：5宀伽-60二0,①[x+2y-6=0由题意：方程①有两个不等的实数根，・・・60-4加>0,m