圆的标准方程教学设计

圆的标准方程教学设计修文中学李朝友一、教学目标1.知识和能力：(1)学会圆的标准方程的推导方法。(2)掌握圆的标准方程并掌握其求法。(3)掌握点与圆的位置关系的判定方法。2.过程和方法(1)通过教师设置的四个问题，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳整理知识的能力。(2)通过课件演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，从而将几何问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。(3)通过具体情景，使学生逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。3.情感态度和价值观：(1)通过教学过程，使学生学会运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。(2)培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。二、教学重点难点重点：圆的标准方程的推导。难点：圆的标准方程的求法。三、学情分析圆是学生比较熟悉的曲线。在初中平面几何中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用。因此，教师可通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。进一步帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。四、教学内容分析本节内容首先研究圆的标准方程的特点，以及怎样根据不同条件建立圆的标准方程。由于圆的标准方程含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定a、b、r，可以根据条件利用待定系数法解决。还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径，从而获得圆的标准方程。以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。五、课前准备教师：制作课件。4 学生：课前预习，搜集资料。六、教学策略1.这是一节介绍新知识的课，而且本节内容还非常有利于展现知识的形成过程，所以本节力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”。2.在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采取探究式，引导学生进行探索，重视探索过程。在整个探究过程中，充分利用了旧知识的形成过程，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。七、教学过程（一）复习引入1、确定圆的几何要素是什么？2、圆的定义是什么？3、圆的标准方程是什么？4、求圆的方程常用方法有哪些？由于学生已经进行了课前预习，通过四个问题，引出本节主要内容。教师在学生讨论、回答以上问题的基础上，对每一个问题进行点评、分析和总结：问题分析1、确定圆的几何要素：圆心与半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的形状大小。（教师画图启发）问题分析2、圆的定义：平面上与定点距离等于定长的点的集合（初中）；｛M｜AM｜=r｝(r为定长，A为定点)（高中）。（温故知新）问题分析3、圆的标准方程：按照求曲线方程的一般步骤，由两点间的距离公式得。圆心(a,b),半径为r。（用方程描述曲线）（二）巩固练习【练习1】根据圆的方程，指出圆心和半径。(1)(2)(3)答案：(1)圆心(2，3)半径为2；(2)圆心(3，0)半径为2；(3)圆心(3，-4)半径为6。结论：圆的圆心(a,b)，半径为r。（对圆的标准方程的巩固，并由学生概括总结规律）探究学习：圆心在坐标原点的圆的标准方程如何表示？由学生完成（）【练习2】根据圆心和半径，指出圆的方程。(1)圆心为原点，半径为1；(2)圆心为原点，半径为2；(3)圆心为原点，半径为3。答案：(1)；(2)；(3)。结论：圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为。由特殊到一般并由学生概括总结规律。问题分析4、求圆的方程常用方法：4 圆的几何要素是圆心与半径，故要求圆的方程，关键是如何确定圆心与半径。引导学生探究。【练习3】求出下列条件下圆的方程。(1)圆心为点P(-3，4)半径为2；(2)圆心为点P(-1，0)半径为2；(3)圆心为点P(2，-3)半径为5。答案：略结论：已知圆心和半径，可直接代入标准得圆的方程。由特殊到一般并由学生概括总结规律。（三）例题分析例1、求以C(1,3)为圆心，并且和直线相切的圆的方程。分析：圆的标准方程含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，点A、B、C在圆上，满足圆的方程，故可列出三个方程，确定a、b、r。(过程略)点评：由本题可知，圆的标准方程是由圆心坐标和半径两因素决定的而且圆的半径与圆的切线有着非常密切的联系，解题要注意运用圆的切线的性质解题时画出草图可帮助思考例2：已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程解法一：如图，设切线的斜率为，半径OM的斜率为因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是∵∴经过点M的切线方程是，整理得因为点在圆上，所以，所求切线方程是解法二：设是切线上的任意一点，根据勾股定理，得所以，由于把方程整理得解法三：设是切线上的任意一点，则,所以,用向量的坐标表示，得所以=04 所以切线的方程是。点评：用斜率的知识来求切线方程，这就是“代数方程”：即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关于或的一元二次方程，利用判别式进行求解，但此法不如用几何方法简练实用，几何方法就是利用圆心到直线的距离等于半径(本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识)，由此确定了斜率的，从而得到点斜式的切线方程，这种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补。解法二是用勾股定理和两点间的距离公式来求，解法三是用向量的方法来求，这两种方法可不用考虑斜率是否存在。（四）小结1、圆的标准方程，圆心(a,b)，半径为r2、求圆的方程常用方法(关键是如何确定圆心与半径)(1)直接代入法；(2)待定系数法；(3)几何分析法。回顾前面4个问题，引导学生归纳总结。（五）作业布置：书本P81习题第1、2题。八、教案说明在教学过程中，遵循教学本身的发展规律，同时认识到学生的认识规律，力求做到同步协调。具体做法如下：在探究圆的标准方程的过程中，引导学生用代数的方法研究平面几何中常见的曲线——圆。从简单的、特殊的到复杂的、一般的，使用了观察、猜测、经验归纳等合情推理的方法，同时，引导学生对照圆的几何图形，观察和欣赏圆的方程，体会教学中的美学——对称、简洁。在课堂上，运用问题性，使教学富有情趣性、激励性，通过问题和提示，帮助学生渡过学习上的难关，从而达到较好的教学效果。4