新人教A版必修2 高中数学 4.1.1 圆的标准方程式 教案

2.3.1圆的标准方程示范教案教学分析     本节内容是学习圆的起始课，由于圆是学生比较熟悉的曲线，在初中已学习了圆的几何性质，所以学习本节的难度不大．教材利用两点间距离公式推导出了圆的标准方程，并讨论了点与圆的位置关系．在教学中，应引导学生自己探究，避免教师直接给出圆的标准方程．三维目标     1．使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．2．会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成用代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力．重点难点     教学重点：圆的标准方程．教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．课时安排     1课时导入新课     设计1.如左下图，已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶．一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能安全驶入这个隧道？         如右上图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，问题可以转化为求圆上的点的纵坐标，这就需要建立圆的方程．为此我们学习圆的标准方程．设计2.同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题：圆的标准方程．推进新课     9 讨论结果：(1)平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．定点是圆心，定长是圆的半径．(2)只要圆心和半径确定了，就可以确定一个圆．(3)如果点M在⊙C上，则|CM|＝r，反之，如果|CM|＝r，则点M在⊙C上．如下图所示．由两点间的距离公式，得x，y满足的等式，＝r.两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.①显然，⊙C上任意一点M的坐标(x，y)适合方程①；如果平面上一点M的坐标(x，y)适合方程①，可得|CM|＝r，则点M在⊙C上．因此方程①是以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．特别地，如果圆心在坐标原点(如下图)，这时a＝0，b＝0，圆的标准方程就是x2＋y2＝r2.(4)容易看出，如果点M1(x1，y1)在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r，即(x1－a)2＋(y1－b)2>r2.如果点M2(x2，y2)在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r，即(x2－a)2＋(y2－b)20，代入圆方程，得(－2)2＋(y0＋10.5)2＝14.52，解得y0＝－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．即支柱A2P2的长度约为3.86m.思路2例4圆(x－1)2＋(y＋2)2＝9关于直线x－y＝0对称的圆的标准方程是________．解析：圆心(1，－2)关于直线x－y＝0的对称点是(－2,1)，则对称圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝9.答案：(x＋2)2＋(y－1)2＝9点评：圆关于点或直线对称的圆，其半径不变，只是圆心位置发生了变化．本题利用点关于直线对称点求得对称圆的圆心．变式训练1．圆x2＋(y＋3)2＝7关于原点对称的圆的方程是________．答案：x2＋(y－3)2＝72．圆x2＋y2＝4与圆(x－a)2＋y2＝4关于直线x＝6对称，则a＝________.答案：123．直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a(a25，∴点M2在圆外．点评：本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看点在不在圆上——从代数到几何．变式训练1．经过圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________．9 解析：圆心(－1,0)．与直线x＋y＝0垂直的直线斜率为1，∴所求的方程为y＝x＋1.答案：x－y＋1＝02．已知两点P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(6,9)，Q(5,3)是在圆上、圆外，还是圆内？解：由已知条件可得圆心坐标为C(5,6)，半径为r＝|P1P2|＝＝.所以以P1P2为直径的圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.因为|CM|＝＝＝r，|CQ|＝＝30)，由题意知圆心到直线y＝x－1的距离为d＝＝.又直线y＝x－1被圆截得弦长为2，所以r2－d2＝2，即r＝2.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.9