圆的标准方程 一般方程 参数方程

7.6圆的方程（1）教学目的：1、使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径2、能根据不同的条件，利用待定系数法、定义法求圆的标准方程3、能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题一、复习引入：1、具有什么性质的点的轨迹是圆？（圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆）2、求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程)（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)二、讲解新课：1、已知圆心为，半径为，如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：  这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程：若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1求以C(1,3)为圆心，并且和直线相切的圆的方程解：已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程。因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离，根据点到直线的距离公式，得因此，所求的圆的方程是变式：求以C(1,3)为圆心，且和直线截得的弦长为8的圆的方程。（注：在求圆的方程时，要注意运用圆的几何意义，使问题解决简化）例2已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程分析：此题关键是求切线的斜率，为此须分两种情形讨论。解：如图，设切线的斜率为，半径OM的斜率为，因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是∵∴经过点M的切线方程是，整理得因为点在圆上，所以，所求切线方程是7 点评：1、“待定系数法”：即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关于或的一元二次方程，利用判别式进行求解。但此法不如用几何方法简练实用。几何方法：利用圆心到直线的距离等于半径(本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识)，由此确定了斜率的，从而得到点斜式的切线方程。以上两种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补。2、若圆的方程是：，是圆上一点，则过M的切线方程是：。例3．求过点，且与圆相切的直线的方程．解一：（待定系数法）设切线方程为，即，∵圆心到切线的距离等于半径，∴，解得，∴切线方程为，即，当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径解二：利用切线方程公式，关键是求出切点坐标。例4．一圆过原点和点，圆心在直线上，求此圆的方程。（学生思考、探索不同解法）解法一：（待定系数法）∵圆心在直线上，∴设圆心坐标为，则圆的方程为，∵点和在圆上，∴，解得，所以，所求的圆的方程为．解法二：（定义法）由题意：圆的弦的斜率为，中点坐标为，∴弦的垂直平分线方程为，即，∵圆心在直线上，且圆心在弦的垂直平分线上，∴由解得，即圆心坐标为，又∵圆的半径，所以，所求的圆的方程为．例5．已知一圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，求此圆的方程．解：∵圆心在直线上，∴设圆的方程为，∵圆与轴相切，∴，又圆心到弦的距离为，∴，∴，，7 所以，所求的圆方程为或．说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再用其余的条件求待定的系数；四、课堂练习：P77 T1、2、3、42、已知圆，求：（1）过点A（4，-3）的切线方程 （2）过点B（-5，2）的切线方程分析：求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在时，结合图形验证；当然若过圆上一点的切线方程，可利用公式求得解：（1）∵点A（4，-3）在圆上∴过点A的切线方程为：（2）∵点B（-5，2）不在圆上，当过点B（-5，2）的切线的斜率存在时，设所求切线方程为，即由，得∴此时切线方程为：当过点B（-5，2）的切线斜率不存在时，结合图形可知=-5，也是切线方程综上所述，所求切线方程为：或=-5五、小结：1．圆的标准方程的概念及推导；2．如何求圆的标准方程：待定系数法、定义法3．求圆的切线方程的常用方法：公式法、待定系数法。圆的方程（圆的一般方程）教学目标：1.掌握圆的一般方程，知道它的特点；2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径；3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．教学过程：（一）复习：1、写出圆的标准方程？．2、求圆的方程的方法？3、经过一点求圆的切线方程的方法？（二）新课讲解：1．圆的一般方程将上述标准方程展开，整理，得，可见，任何一个圆的方程都可以写成的形式。①反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？（学生思考、探索）将①配方得：．②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：（1）当时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程①表示一个点；（3）当时，方程①不表示任何图形．结论：当时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1）和的系数相同，且不等于；（2）没有这样的二次项．以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．充要条件是？（A=C0，B=0，）说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数、、就可以了．7 2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？（圆的标准方程：有利于作图。一般方程：有利于判别二元二次方程是不是圆的方程）（三）例题分析：例1．求过三点、、的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．解：设所求的圆方程为，∵、、在圆上，∴解得，∴所求的圆方程为，圆心坐标为，半径为．注意：⑴由于所求的圆过原点，可设原的方程为；⑵本题也可以换一种说法：已知中，三个顶点的坐标分别、、，求的外接圆的方程．例2．已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．解：设是曲线上任意一点，由题意：，∴，化简得，  ①这就是所求的曲线方程．把方程①配方得：，所以方程①的曲线是以为圆心，为半径的圆．（作图）注意：本题也可以一般化已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．提示：以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设，则可以按照上例的方法求解。可得：要注意讨论对曲线的形状的影响．例3．已知圆与直线相交于、两点，定点，若，求实数的值．解：设、，由，消去得：，①由题意：方程①有两个不等的实数根，∴，，由韦答定理：，∵，∴，∴，即，即，②7 ∵，∴，，代入②得：，即，∴，适合，所以，实数的值为．圆的方程（圆的参数方程）教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为的圆的参数方程；2.理解参数的意义；3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程；4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题．教学过程：（一）复习：1、圆的标准方程和一般方程．2、P（x,y）是图形F上的任意一点，它在平移后图形F’上的对应点为P’(x’,y’),平移向量为（h,k）=.则平移公式是？（二）新课讲解：（点题：圆的参数方程）1．圆的参数方程的推导（1）设圆的圆心在原点，半径是，圆与轴的正半轴的交点是，设点在圆上从开始按逆时针方向运动到达点，，则点的位置与旋转角有密切的关系：当确定时，点在圆上的位置也随着确定；当变化时，点在圆上的位置也随着变化．这说明，点的坐标随着的变化而变化．设点的坐标是，你能否将、分别表示成以为自变量的函数？根据三角函数的定义，，①显然，对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在圆上。我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为的圆的参数方程，是参数．（2）圆心为，半径为的圆的参数方程是怎样的？圆可以看成由圆按向量平移得到的（如图），由可以得到圆心为，半径为的圆的参数方程是（为参数）②2．参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数，即③并且对于的每一个允许值，方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系、之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标、关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化．如：将圆的参数方程②的参数消去，就得到圆的普通方程．（三）例题分析：7 例1．把下列参数方程化为普通方程：（1）（为参数）（2）（为参数）（3）（t为参数）解：（1）(利用同角公式化简)，由得，这就是所求的普通方程．（2）（整体代入消元）由原方程组得，把代入得，化简得：（），这就是所求的普通方程．（3）平方后加减消元说明：1、将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与、的取值范围之间的制约关系，保持等价性．2、注意消参的方法，及参数的几何性质。例2．如图，已知点是圆上的一个动点，定点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？解：设点，∵圆的参数方程为，∴设点，由线段中点坐标公式得，即点轨迹的参数方程为，∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？（相关点法）又解：设，，∵点是线段的中点，∴，∴，∵点在圆上，∴，∴，即点的轨迹方程为，∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．变式：若Q分的比为1：2，求Q点的轨迹方程。例3．：设圆（为参数）上有且仅有两点到直线-4x+3y=2的距离等于1，则r的取值范围是7 例4．已知实数、满足，（1）求的最大值；（2）求的最小值．解：原方程配方得：，它表示以为圆心，为半径的圆，用参数方程可表示为（为参数，），（1）∴当，即时，．（2），∴当，即时，．说明：本题也可数形结合解．五．小结：1．圆心为原点、半径为的圆的参数方程，（为参数）；2．圆心为，半径为的圆的参数方程（为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．4．消参的方法。六．作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题；补充：已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线上任意一点，，求的取值范围．7