新人教A版必修2 高中数学 4.1.1 圆的标准方程式 课件

已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？ AB4Oxy解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，2.7?多高设M为(x,y).将x＝2.7代入，即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．16-2.72y=8.71=＜3 能不能得到圆心在原点，半径为r的圆的方程？答：x2＋y2＝r2xyOAM(x,y)r. 如果圆心在(a，b)，半径为r时又如何呢？xyOA(a,b)M(x,y)r.如图，设M(x,y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心A的距离等于r，所以圆A就是集合P={M||MA|=r}．由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为(x-a)2+(y-b)2=r①把①式两边平方，得(x-a)2+(y-b)2=r2. 如果圆心在(a，b)，半径为r时又如何呢？xyOA(a,b)M(x,y)r.①(x-a)2+(y-b)2=r2.若点M(x，y)在圆上，则点M的坐标适合方程①；若点M(x，y)的坐标适合方程①，即点M在圆心为A的圆上；我们把方程①称为圆心A(a，b)，半径长为r的圆的方程，把他叫做圆的标准方程． 例1：写出圆心为A(2，-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-，-1)是否在这个圆上．5圆心是A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是:(x-2)2＋(y+3)2＝25(1)把M1(5，-7)的坐标代入方程(1)，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程．所以点M在这个圆上;把M2(-，-1)的坐标代入方程(1)，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以点M不在这个圆上．5解: (1)圆心在原点，半径为3；(2)圆心在Ｃ(3，4)，半径为5;(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3).√1、写出下列各圆的方程：2、根据圆的方程写出圆心和半径:(1)(x-2)2＋(y-3)2＝25.(2)(x+2)2＋y2＝(-2)2x2＋y2＝9.(x-3)2＋(y-4)2＝5(x-8)2＋(y+3)2＝(5-8)2＋(1+3)2＝25圆心为点(2，3),半径为5;圆心为点(-2，0),半径为2． 点M0(x0，y0)在圆x2+y2=r2内的条件是什么?在圆x2+y2=r2外的条件是什么?(x0-x)2+(y0-y)2＝r2(x0-x)2+(y0-y)2＜r2(x0-x)2+(y0-y)2＞r2ÛÛÛM0在圆上M0在圆内M0在圆外 例2：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求它的外接圆的方程．设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2由于A(5，1)、B(7，-3)、C(2，-8)都在圆上,所以它们的坐标均满足圆的方程：所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25．解:(5-a)2+(1-b)2＝r2(7-a)2+(-3-b)2＝r2(-8-a)2+(2-b)2＝r2解得：a＝2b＝-3r2＝25不在同一直线上的三点可以确定一个三角形，三角形有唯一的外接圆。 已知圆的方程是(x-3)2+(y+2)2=16，利用计算器，判断下列各点在圆上，在圆外，还是在圆内？(1)M1(4.30，-5.72)；(2)M2(5.70，1.08)；(3)M3(3，-6)．解:设圆心为A,半径为r,则A的坐标为(3,-2)，r=4；(4.3-3)2+(-5.72+2)2=|AM1|=15.52482＜4所以M1在圆内，(5.7-3)2+(1.08+2)2=|AM2|=16.77642＞4所以M2在圆外．(3-3)2+(-6+2)2=|AM3|=4所以M3在圆上． 已知两点P1(4，9)，P2(6，3)，求以线段P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)在圆上，在圆内,还是在圆外?解:设P1P2中点为C,则C为(5,6),(6-5)2+(9-6)2=|MC|=10所以M在圆内，所以以线段P1P2为直径的圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10|P1P2|2=(6-4)2+(3-9)22=10=10 解:设P1P2中点为C,则C为(5,6),(3-5)2+(3-6)2=|NC|=13所以N在圆外，所以以线段P1P2为直径的圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10|P1P2|2=(6-4)2+(3-9)22=10＞10已知两点P1(4，9)，P2(6，3)，求以线段P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)在圆上，在圆内,还是在圆外? 解:设P1P2中点为C,则C为(5,6),(5-5)2+(3-6)2=|QC|=3所以Q在圆内．所以以线段P1P2为直径的圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10|P1P2|2=(6-4)2+(3-9)22=10＜10已知两点P1(4，9)，P2(6，3)，求以线段P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)在圆上，在圆内,还是在圆外? 例2：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(4，0)，B(0，3)，C(0，0)，求△ABC的外接圆的方程．设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2由于A(4，0)、B(0，3)、C(0，0)都在圆上,所以它们的坐标均满足圆的方程：解:(4-a)2+(0-b)2＝r2(0-a)2+(3-b)2＝r2(0-a)2+(0-b)2＝r2解得：a＝2b＝-32r2＝254所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+)2=．32254 设A(-c，0)，B(c，0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹．解：活动点P的坐标为P(x，y)，由=a(a>0),|PA||PB|得(x+c)2+y2(x-c)2+y2=a化简得：(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0当a≠1，得x2+2c(1+a2)1-a2x+c2+y2=0整理得到(x-c)2+y2=2aca2-11+a2a2-12当a=1时，化简得x=0. 设A(-c，0)，B(c，0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定植a(a>0)，求P点的轨迹．P点的轨迹是以(c，0)为圆心，1+a2a2-12aca2-1为半径的圆．当a=1时，解：活动点P的坐标为P(x，y)，由|PA||PB|=a(a>0),得(x+c)2+y2(x-c)2+y2=a化简得：(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0所以当a≠1时，P点的轨迹为y轴． 1．把圆的标准方程展开后是什么形式？2．方程：x2+y2-6x+8y+20=0的曲线是什么图形？