【标准】高一圆的标准方程与一般方程

优秀学习资料欢迎下载年级高一学科数学内容标题圆的标准方程与一般方程编稿老师蔡秀梅一、学习目标1.明白圆的定义，懂得并把握圆的标准方程和一般方程.2.把握用待定系数法求圆的方程.3.把握圆的标准方程与一般方程的互化.4.体会求轨迹方程的方法与思想.二、重点、难点重点：圆的标准方程，通过圆的一般方程求圆的标准方程，依据已知条件求圆的方程.难点：依据已知条件求圆的方程.三、考点分析本节内容是圆的方程，有关圆的题目，多以挑选题、填空题的形式重点考查其标准方程和一般方程，难度不大；有时，也将圆的方程作为解答题考查.1.圆的定义：平面到肯定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径.优秀学习资料欢迎下载2.圆的标准方程：以C〔a,b〕为圆心，r（r0）为半径的圆的标准方程：优秀学习资料欢迎下载〔xa〕2〔yb〕2r2优秀学习资料欢迎下载23.圆的一般方程：xy2DxEyF0（D2E24F0），圆心坐标为优秀学习资料欢迎下载DED2E24F优秀学习资料欢迎下载（,），半径为22r.特殊地，当D22E24F0时，表示点优秀学习资料欢迎下载〔D,2E〕；当D22E24F0时，不表示任何图形.优秀学习资料欢迎下载4.点与圆的位置关系优秀学习资料欢迎下载已知点P〔x1,y1〕,圆的方程C:〔xa)2〔yb〕2r2优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载就PC〔x1a)2〔y1b)2优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载PCr点P在圆外；PCr点P在圆上；PCr点P在圆内. 优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载学问点一：圆的方程例1.（1）求经过点P（1，3），Q（－2，2），且圆心在直线l:2x3y80上的圆优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载的方程.（2）求圆心在直线l：5x3y【思路分析】8上，且与坐标轴相切的圆的方程.优秀学习资料欢迎下载题意分析：求圆的方程关键是求出圆心坐标和半径.解题思路：（1）设出圆心坐标，由已知条件构造方程组求解；或求出线段PQ的垂直平分线方程，与直线l的方程联立，解出交点坐标即为圆心坐标.（2）圆与坐标轴相切，说明圆心到坐标轴的距离相等，即都等于圆的半径，由此可列出圆心坐标所满意的方程，解方程可得圆心坐标和半径.优秀学习资料欢迎下载【解答过程】（1）解法一：设圆心坐标为C〔a,b〕，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载就有〔a2aa解得：b1〕2〔b3b801，23〕2〔a2〕2〔b2〕2，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载所以rPC〔11〕2〔23〕25，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载所以所求圆的方程为〔x1〕2〔y2〕225.优秀学习资料欢迎下载解法二：依据条件可知圆心肯定在线段PQ的垂直平分线上，由直线的点斜式方程可求得线段PQ的垂直平分线方程为3xy10，优秀学习资料欢迎下载由已知圆心也在直线l：2x3y80上，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载所以由方程组3xy12x3y80解得圆心坐标为（1，－2），0优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（2）设圆心为以下解法同解法一.〔a,b〕，由于圆与坐标轴相切，优秀学习资料欢迎下载所以ab，圆心在已知直线上，优秀学习资料欢迎下载所以有5a3b8，|a||b|a4a1优秀学习资料欢迎下载所以5a3b8，解得或，优秀学习资料欢迎下载b4b1a422优秀学习资料欢迎下载当时，rb4a1a＝4，所求圆的方程为〔x4〕〔y4〕2216；优秀学习资料欢迎下载当时，ra1a＝1，所求圆的方程为〔x1〕〔y1〕1.优秀学习资料欢迎下载【题后摸索】由已知条件构造出圆心坐标和半径的方程组，是求圆的方程的关键.例2.求过点A（－2，1），B（0，－1），C（－2，－3）的圆的方程. 优秀学习资料欢迎下载【思路分析】题意分析：利用圆的一般方程求解.解题思路：设出圆的一般式方程，分别把三点的坐标代入方程，构成方程组，解此方程组即可得出所求结果.优秀学习资料欢迎下载【解答过程】设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，由于A、B、C三点在圆上，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载22〔2〕12DEF0D4所以有〔1〕2EF0，解此方程组得：〔2〕2〔3〕22D3EF0E2，F1优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载2所求圆的方程为xy24x2y10.优秀学习资料欢迎下载【题后摸索】此题也可以先求出圆心和半径进而列出圆的方程，但不如这种方法简捷.优秀学习资料欢迎下载例3.（1）求与圆x2y2x2y0关于直线xy10对称的圆的方程.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（2）求方程x2【思路分析】y24mx2y5m0表示圆的充要条件.优秀学习资料欢迎下载题意分析：（1）所求圆与已知圆的半径相同，故只需求出圆心坐标即可求解.（2）此题的关键是落实运用二元二次方程表示圆的充要条件.解题思路：（1）先求出已知圆的圆心坐标和半径，再求出该圆圆心关于对称轴的对称点坐标.优秀学习资料欢迎下载（2）直接代入D2E24F0得关于m的不等式，解不等式即可.优秀学习资料欢迎下载【解答过程】（1）圆的方程可化为〔x1〕22〔y1〕25，4优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载所以圆心的坐标为〔1,21〕，半径为5，2优秀学习资料欢迎下载设圆心关于直线xy10的对称点为〔a,b〕，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载b1a1就有21a221a2，解得3，bb12102优秀学习资料欢迎下载所以所求圆的方程为〔x2〕2〔y3〕25.24优秀学习资料欢迎下载（2）∵D2mE24F1或m1.4〔4m〕2420m16m220m44〔4m1〕〔m1〕0优秀学习资料欢迎下载【题后摸索】（1）由圆的一般方程要能够精确求出圆心坐标和半径，既可以用配方法将其转化为圆的标准式方程求解，也可以直接套用公式求解.优秀学习资料欢迎下载（2）并不是全部形如x2y2DxEyF0的方程都表示圆，用这样的方程表示优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载圆的充要条件是D2E24F0. 优秀学习资料欢迎下载【学问小结】当已知条件与圆心、半径有关时，求圆的方程时，把方程设为标准方程更简便；对于圆的一般方程要会求圆心坐标和半径；另外仍要把握用二元二次方程表示圆的充要条件优秀学习资料欢迎下载为D2E24F0.优秀学习资料欢迎下载学问点二：与圆有关的综合问题例4.动点M到两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为1：2，求动点M的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.【思路分析】题意分析：动点M满意的条件在已知条件中已明确给出，只需把它用坐标表示出来，并化简整理即可.解题思路：设出动点M的坐标，分别用两点间的距离公式表示MO、MA的长.优秀学习资料欢迎下载【解答过程】设动点M的坐标为（MO1x,y），由已知，，MA2x2y21，〔x3〕2y22优秀学习资料欢迎下载2x2y2〔x3〕2y2两边平方并整理得：x2y22x30，所以动点M的轨迹为以（－1，0）为圆心，以2为半径的圆.优秀学习资料欢迎下载【题后摸索】求动点的轨迹方程即求动点的坐标（x,y）满意的方程，当已知条件中明确给优秀学习资料欢迎下载出动点运动的条件时，只需把条件用坐标表示出来，并化简整理即可.优秀学习资料欢迎下载例5.已知点A〔【思路分析】2,0〕,B〔2,0〕,AD2，E为线段BD的中点，求点E的轨迹方程.优秀学习资料欢迎下载题意分析：（1）由已知条件可知点D的轨迹方程，把点D的坐标用点E的坐标表示出来，然后代入点D的轨迹方程.优秀学习资料欢迎下载（2）利用图形的几何性质可推出OE1，故可知点E的轨迹是以原点为圆心的圆.优秀学习资料欢迎下载解题思路：（1）设出点E的坐标，用中点坐标公式求出点D的坐标.（2）由图形可得OE为△ADB的中位线.优秀学习资料欢迎下载【解答过程】解法一：设点x1E〔x,2xy〕，点2,y1D〔x1,y1〕，由于E为线段BD的中点，所以有2y，优秀学习资料欢迎下载AD2，〔x12〕22y14，优秀学习资料欢迎下载即〔2x22〕2〔2y〕24，整理得：x2y21.优秀学习资料欢迎下载解法二：连接OE，就OE为△ADB的中位线，优秀学习资料欢迎下载所以OE1AD1，2优秀学习资料欢迎下载由圆的定义可知，点E的轨迹是以原点为圆心的圆，优秀学习资料欢迎下载方程为x2y21.优秀学习资料欢迎下载【题后摸索】此题的两种解法分别用到了求轨迹方程的相关方法和定义法. 优秀学习资料欢迎下载例6.假如实数x,y满意方程〔x3〕2〔y1〕21，求：（1）y的最大值和最小值；x优秀学习资料欢迎下载（2）3xy的最大值和最小值；（3）22xy的最大值和最小值.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载【思路分析】题意分析：利用y,3xxy,x2y2的几何意义，用数形结合的方法来解决.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载解题思路：y的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率；x3xy的几何意义为设优秀学习资料欢迎下载b3xy，就b表示直线在y轴上的截距；x2y2的几何意义表示圆上的点到原点的优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载距离的平方.【解答过程】（1）y表示圆上的点与原点连线的斜率，过原点作圆的两条切线，x优秀学习资料欢迎下载就切线的斜率分别为0和3，所以y的最大值为3，最小值为0.x优秀学习资料欢迎下载（2）设b3xy，就b表示直线在y轴上的截距，作圆的两条斜率为3的切线，这两条切线的截距分别为2和6，所以3xy的最大值为6，最小值为2.（3）x2y2表示圆上的点到原点的距离的平方，由于圆心到原点的距离为2，所以圆上的点到原点距离的最大值为3，最小值为1，所以x2y2的最大值为9，最小值为1.优秀学习资料欢迎下载【题后摸索】此题使用代数式的几何意义求解比较直观.易错点是误认为点到原点的距离.x2y2是圆上的优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载例7.已知圆C：〔x1〕22〔y3〕225上两点4P,Q满意：①关于直线ykx4优秀学习资料欢迎下载对称；②OPOQ，求直线PQ的方程.优秀学习资料欢迎下载【思路分析】题意分析：由圆上两点P,Q关于直线ykx4对称可知圆心在这条直线上，故斜率k的优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载值可求，进而由OPOQx1x2y1y20.优秀学习资料欢迎下载解题思路：设出所求直线方程，代入圆方程，用根与系数的关系构造关于所求的方程.优秀学习资料欢迎下载【解答过程】由圆上两点P,Q关于直线ykx4对称可知圆心在这条直线上，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载所以有31k4，解得k2，2优秀学习资料欢迎下载就直线PQ的斜率为1，设P点坐标为2〔x1,y1〕，Q点坐标为〔x2,y2〕，优秀学习资料欢迎下载直线PQ的方程为y1xb，2 优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载代入圆的方程整理得：5x24〔4b〕x4〔b26b3〕0，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载所以x116〔4x2b〕244〔b4〕554〔b26b3〕0优秀学习资料欢迎下载x1x2yy〔14〔b26b3〕5xb〕〔1xb〕1xx1b〔xx〕b24b22b3，优秀学习资料欢迎下载1212221212425优秀学习资料欢迎下载4〔b26b3〕4b22b3优秀学习资料欢迎下载OPOQx1x2y1y20，所以0优秀学习资料欢迎下载3解得b或2555，经检验，0成立.4优秀学习资料欢迎下载所以所求直线PQ的方程为x2y30或2x4y50.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载【题后摸索】此题中由OPOQx1x2y1y20是解此类型题常用的结论；求出b的优秀学习资料欢迎下载值后，应验证0是否成立.【学问小结】在本讲中，我们学习了圆的标准方程和一般方程.在求圆的方程时，可依据已知条件挑选适当的方程求解.解决有关圆的最值问题时，利用代数式的几何意义求解比较简便.在解答有关圆的综合问题时，结合圆的性质求解是关键；求圆的方程时，假如已知条件与圆心、半径有关，一般采纳圆的标准方程求解，假如与圆心、半径无直接关系，就使用圆的一般方程求解.优秀学习资料欢迎下载一、挑选题1.圆〔x2〕2y2（答题时间：50分钟）5关于原点对称的圆的方程是（）优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载A.〔x2〕2y25B.x2〔y2〕25优秀学习资料欢迎下载C.〔x2〕2〔y2〕25D.x2〔y2〕25优秀学习资料欢迎下载2.点（1，1）在圆〔xa〕2〔ya〕24的内部，就a的取值范畴为（）优秀学习资料欢迎下载A.1a1B.0a1C.a1或a1D.a1优秀学习资料欢迎下载3.已知直线l的方程为3x最小值是（）4y250，就圆x2y21上的点到直线l的距离的 优秀学习资料欢迎下载A.3B.4C.5D.6优秀学习资料欢迎下载3.一个动点在圆x2y21上移动，它与点A（3，0）连线的中点的轨迹方程为（） 优秀学习资料欢迎下载A.〔x3〕2y24B.〔x3〕2y21优秀学习资料欢迎下载2C.〔2x3〕2〔2y〕13221D.〔x〕y22优秀学习资料欢迎下载3.经过圆x22xy20的圆心，且与直线xy0垂直的直线方程是（）优秀学习资料欢迎下载A.xy10B.xy10C.xy10D.xy10优秀学习资料欢迎下载4.已知圆x2y24x2y40，就xy的最大值为（）优秀学习资料欢迎下载22A.9B.14C.1465D.1465二、填空题3.已知点A（－4，－5），B（6，－1），就以线段AB为直径的圆的方程是.优秀学习资料欢迎下载5.已知圆〔xa)2〔yb〕2r2〔r0〕过原点且与y轴相切，就a,b,r应满意的条优秀学习资料欢迎下载件是.3.圆心在直线x2上的圆与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2），就圆的方程是.优秀学习资料欢迎下载6.直线l与圆x2y22x4ya0〔a3〕相交于点A、B，弦AB的中点为（0，1），优秀学习资料欢迎下载就直线l的方程为.三、解答题3.求与x轴相切于点（5，0），并在y轴上截得的弦长为10的圆的方程.优秀学习资料欢迎下载7.方程ax2ay24〔a1)x4y0表示圆，求实数a的取值范畴，并求出其中半优秀学习资料欢迎下载径最小的圆的方程.优秀学习资料欢迎下载23.已知圆x2yx6ym0和直线x2y30相交于P,Q两点，如优秀学习资料欢迎下载OPOQ，求m的值. 优秀学习资料欢迎下载一、挑选题1.A解析：圆心的坐标为（－2，0），就关于原点对称的点的坐标为（2，0）.优秀学习资料欢迎下载1.A解析：由已知〔1a〕2〔1a〕24，解得125a1.优秀学习资料欢迎下载2.B解析：圆心到直线的距离d32425，最小值为5－1＝4.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载3.C解析：设M〔x,y〕为圆上的动点，MA的中点为N〔x,y〕，就xx03,yy00优秀学习资料欢迎下载00x02x3,y02y,x0222y01,2x3222〔2y〕1.优秀学习资料欢迎下载4.A解析：圆的圆心为（－1，0），直线的斜率为1，故所求直线的方程为yx1即xy10.优秀学习资料欢迎下载25.D解析：圆心为（－2，1），半径为3，圆心到原点的距离为5，所以x2y2的优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载最大值为〔53〕1465.优秀学习资料欢迎下载二、填空题优秀学习资料欢迎下载6.〔x1〕2〔y3〕229解析：由中点坐标公式得圆心坐标为（1，－3），由两点间优秀学习资料欢迎下载的距离公式得半径为29.优秀学习资料欢迎下载7.ar且b0解析：由已知：〔0a〕2〔0b〕2r2〔r0〕,ra,b0.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载8.〔x2〕2〔y3〕25解析：线段AB的中点坐标为（0，－3），所以圆心坐标为（2，优秀学习资料欢迎下载－3），就半径为〔20〕2〔32〕25.优秀学习资料欢迎下载9.10.xy10解析：圆心为（－1，2），圆心与弦AB的中点（0，1）的连线的斜优秀学习资料欢迎下载率为－1，所以所求直线l的斜率为1，且过点（0，1），故所求直线l的方程为y1x即xy10三、解答题1.解：由于与x轴相切于点（5，0），所以圆心的横坐标为5，设圆的半径为r，优秀学习资料欢迎下载2就有r〔10〕25222250，所以圆心的纵坐标为52.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载故所求圆的方程为〔x5〕〔y52〕50.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载10.解：圆方程可化为[x2〔a1〕]2〔y2〕24〔a2a2〕，优秀学习资料欢迎下载22aaa2优秀学习资料欢迎下载方程表示圆a2a20且a0，aR,a0时方程表示圆.优秀学习资料欢迎下载22优秀学习资料欢迎下载4〔a2a2〕2〔a1)22，当且仅当a2时取等号.优秀学习资料欢迎下载22aaa2时，圆的半径最小，此时圆的方程为〔x1〕2 优秀学习资料欢迎下载〔y1〕22. 优秀学习资料欢迎下载x2y302优秀学习资料欢迎下载1.解：设P〔x1,y1〕,Q〔x2,y2〕，由x2y2x6ym得5y020y12m0，优秀学习资料欢迎下载yy4,yy12m，OPOQ,xxyy0优秀学习资料欢迎下载1212〔32y1〕〔32y2〕5y1y20即96〔y11212y2〕5y1y20优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载964〔12m〕0，解得：m3.