高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 教案
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高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 教案

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资料简介
7.6圆的方程(1)教学目的:1、使学生掌握圆的标准方程的特点,能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程,能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径2、能根据不同的条件,利用待定系数法、定义法求圆的标准方程3、能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题一、复习引入:1、具有什么性质的点的轨迹是圆?(圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆)2、求曲线方程的一般步骤为:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件P的点M的集合;(可以省略,直接列出曲线方程)(3)用坐标表示条件P(M),列出方程;(4)化方程为最简形式;(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况,可以适当予以说明)二、讲解新课:1、已知圆心为,半径为,如何求的圆的方程?运用上节课求曲线方程的方法,从圆的定义出发,正确地推导出:  这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程:若圆心在坐标原点上,这时,则圆的方程就是3、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要三个量确定了且>0,圆的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件,确定,可以根据条件,利用待定系数法来解决三、讲解范例:例1求以C(1,3)为圆心,并且和直线相切的圆的方程解:已知圆心坐标C(1,3),故只要求出圆的半径,就能写出圆的标准方程。因为圆C和直线相切,所以半径就等于圆心C到这条直线的距离,根据点到直线的距离公式,得因此,所求的圆的方程是变式:求以C(1,3)为圆心,且和直线截得的弦长为8的圆的方程。(注:在求圆的方程时,要注意运用圆的几何意义,使问题解决简化)例2已知圆的方程,求经过圆上一点的切线方程分析:此题关键是求切线的斜率,为此须分两种情形讨论。解:如图,设切线的斜率为,半径OM的斜率为,因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是∵∴经过点M的切线方程是,整理得因为点在圆上,所以,所求切线方程是7 点评:1、“待定系数法”:即设出圆的切线方程,将其代入到圆的方程,得到一个关于或的一元二次方程,利用判别式进行求解。但此法不如用几何方法简练实用。几何方法:利用圆心到直线的距离等于半径(本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识),由此确定了斜率的,从而得到点斜式的切线方程。以上两种方法只能求出存在斜率的切线,若斜率不存在,则要结合图形配补。2、若圆的方程是:,是圆上一点,则过M的切线方程是:。例3.求过点,且与圆相切的直线的方程.解一:(待定系数法)设切线方程为,即,∵圆心到切线的距离等于半径,∴,解得,∴切线方程为,即,当过点的直线的斜率不存在时,其方程为,圆心到此直线的距离等于半径解二:利用切线方程公式,关键是求出切点坐标。例4.一圆过原点和点,圆心在直线上,求此圆的方程。(学生思考、探索不同解法)解法一:(待定系数法)∵圆心在直线上,∴设圆心坐标为,则圆的方程为,∵点和在圆上,∴,解得,所以,所求的圆的方程为.解法二:(定义法)由题意:圆的弦的斜率为,中点坐标为,∴弦的垂直平分线方程为,即,∵圆心在直线上,且圆心在弦的垂直平分线上,∴由解得,即圆心坐标为,又∵圆的半径,所以,所求的圆的方程为.例5.已知一圆与轴相切,在直线上截得的弦长为,圆心在直线上,求此圆的方程.解:∵圆心在直线上,∴设圆的方程为,∵圆与轴相切,∴,又圆心到弦的距离为,∴,∴,,7 所以,所求的圆方程为或.说明:(1)求圆的方程,常用待定系数法,要注意用部分条件设方程(少设未知数),再用其余的条件求待定的系数;四、课堂练习:P77 T1、2、3、42、已知圆,求:(1)过点A(4,-3)的切线方程 (2)过点B(-5,2)的切线方程分析:求过一点的切线方程,当斜率存在时可设为点斜式,利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程,求出斜率k的值,斜率不存在时,结合图形验证;当然若过圆上一点的切线方程,可利用公式求得解:(1)∵点A(4,-3)在圆上∴过点A的切线方程为:(2)∵点B(-5,2)不在圆上,当过点B(-5,2)的切线的斜率存在时,设所求切线方程为,即由,得∴此时切线方程为:当过点B(-5,2)的切线斜率不存在时,结合图形可知=-5,也是切线方程综上所述,所求切线方程为:或=-5五、小结:1.圆的标准方程的概念及推导;2.如何求圆的标准方程:待定系数法、定义法3.求圆的切线方程的常用方法:公式法、待定系数法。圆的方程(圆的一般方程)教学目标:1.掌握圆的一般方程,知道它的特点;2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径;3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程.教学过程:(一)复习:1、写出圆的标准方程?.2、求圆的方程的方法?3、经过一点求圆的切线方程的方法?(二)新课讲解:1.圆的一般方程将上述标准方程展开,整理,得,可见,任何一个圆的方程都可以写成的形式。①反过来,形如①的方程的曲线是否一定是圆呢?(学生思考、探索)将①配方得:.②把方程②和圆的标准方程进行比较,可以看出:(1)当时,方程①表示以为圆心,为半径的圆;(2)当时,方程①表示一个点;(3)当时,方程①不表示任何图形.结论:当时,方程①表示一个圆,此时,我们把方程①叫做圆的一般方程.2.圆的一般方程形式上的特点:(1)和的系数相同,且不等于;(2)没有这样的二次项.以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件,但不是充分条件.充要条件是?(A=C0,B=0,)说明:1、要求圆的一般方程,只要用待定系数法求出三个系数、、就可以了.7 2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点?(圆的标准方程:有利于作图。一般方程:有利于判别二元二次方程是不是圆的方程)(三)例题分析:例1.求过三点、、的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.解:设所求的圆方程为,∵、、在圆上,∴解得,∴所求的圆方程为,圆心坐标为,半径为.注意:⑴由于所求的圆过原点,可设原的方程为;⑵本题也可以换一种说法:已知中,三个顶点的坐标分别、、,求的外接圆的方程.例2.已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线.解:设是曲线上任意一点,由题意:,∴,化简得,  ①这就是所求的曲线方程.把方程①配方得:,所以方程①的曲线是以为圆心,为半径的圆.(作图)注意:本题也可以一般化已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线.提示:以直线为轴,线段的中垂线为轴,建立直角坐标系,设,则可以按照上例的方法求解。可得:要注意讨论对曲线的形状的影响.例3.已知圆与直线相交于、两点,定点,若,求实数的值.解:设、,由,消去得:,①由题意:方程①有两个不等的实数根,∴,,由韦答定理:,∵,∴,∴,即,即,②7 ∵,∴,,代入②得:,即,∴,适合,所以,实数的值为.圆的方程(圆的参数方程)教学目标:1.理解圆的参数方程,能熟练求出圆心在原点、半径为的圆的参数方程;2.理解参数的意义;3.理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程;4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化,并能用之解题.教学过程:(一)复习:1、圆的标准方程和一般方程.2、P(x,y)是图形F上的任意一点,它在平移后图形F’上的对应点为P’(x’,y’),平移向量为(h,k)=.则平移公式是?(二)新课讲解:(点题:圆的参数方程)1.圆的参数方程的推导(1)设圆的圆心在原点,半径是,圆与轴的正半轴的交点是,设点在圆上从开始按逆时针方向运动到达点,,则点的位置与旋转角有密切的关系:当确定时,点在圆上的位置也随着确定;当变化时,点在圆上的位置也随着变化.这说明,点的坐标随着的变化而变化.设点的坐标是,你能否将、分别表示成以为自变量的函数?根据三角函数的定义,,①显然,对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在圆上。我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为的圆的参数方程,是参数.(2)圆心为,半径为的圆的参数方程是怎样的?圆可以看成由圆按向量平移得到的(如图),由可以得到圆心为,半径为的圆的参数方程是(为参数)②2.参数方程的概念在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数,即③并且对于的每一个允许值,方程组③所确定的点都在这条曲线上,那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程,联系、之间关系的变数叫做参变数,简称参数.相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标、关系的方程,叫做曲线的普通方程.将曲线的参数方程中的参数消去,可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化.如:将圆的参数方程②的参数消去,就得到圆的普通方程.(三)例题分析:7 例1.把下列参数方程化为普通方程:(1)(为参数)(2)(为参数)(3)(t为参数)解:(1)(利用同角公式化简),由得,这就是所求的普通方程.(2)(整体代入消元)由原方程组得,把代入得,化简得:(),这就是所求的普通方程.(3)平方后加减消元说明:1、将参数方程和普通方程的互化,要注意参数的取值范围与、的取值范围之间的制约关系,保持等价性.2、注意消参的方法,及参数的几何性质。例2.如图,已知点是圆上的一个动点,定点,当点在圆上运动时,线段的中点的轨迹是什么?解:设点,∵圆的参数方程为,∴设点,由线段中点坐标公式得,即点轨迹的参数方程为,∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆.【思考】:这个问题不用参数方程怎么解?(相关点法)又解:设,,∵点是线段的中点,∴,∴,∵点在圆上,∴,∴,即点的轨迹方程为,∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆.变式:若Q分的比为1:2,求Q点的轨迹方程。例3.:设圆(为参数)上有且仅有两点到直线-4x+3y=2的距离等于1,则r的取值范围是7 例4.已知实数、满足,(1)求的最大值;(2)求的最小值.解:原方程配方得:,它表示以为圆心,为半径的圆,用参数方程可表示为(为参数,),(1)∴当,即时,.(2),∴当,即时,.说明:本题也可数形结合解.五.小结:1.圆心为原点、半径为的圆的参数方程,(为参数);2.圆心为,半径为的圆的参数方程(为参数);3.参数方程和普通方程的互化,要注意等价性.4.消参的方法。六.作业:课本第81页练习第3题;第82页习题第9,10题;补充:已知曲线的参数方程为(为参数),是曲线上任意一点,,求的取值范围.7

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