随圆及其标准方程

椭圆及其标准方程教学目标：1、通过引导学生与圆的定义类比总结出椭圆的定义；2、引导学生建立适当坐标系，推导椭圆标准方程；3、通过实验，引导学生观察、类比从而培养学生探索、发现问题解决问题的能力。教学重点难点：对椭圆的定义及标准方程的理解是本节重点，椭圆标准方程推导是难点。教学过程：一、复习并引入新课师：在解析几何中，我们通常把动点执按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线，那么曲线和方程的关系是什么？生：如果曲线上任意一点的坐标都是方程的解，同时以方程的解为坐标的点都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线。师：圆的定义是：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆？生：①平面上到两个定点距离（距离为2d）的平方和等于定值a(a>2d2)的点的轨迹是圆；②平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆。师：那么平面内到两个定点距离之和为定长的点的集合是什么？二、讲授新课1.做实验（1）用一条固定长度为2a的绳索，再打双，一端固定在小黑板上，用粉笔把绳子拉紧，在小黑板上慢慢移动，画出一具圆（图1）6 （2）将绳子两端分开，用同样方法画（图2）师：所得的图形是圆吗？（3）学生实验变更两固定点距离，重复（2）之实验，画出多个椭圆。分析、观察，找出规律。生画，师问，什么是固定不变的？什么是变化的？师：象图2这样曲线，我们给它起个名字就叫椭圆，椭圆是“压扁了的圆”，但这不是科学定义。那么如何科学的给椭圆下个定义呢？生：从我们刚才画图发现，定义：椭圆是平面内到两个定点距离之和等于一个常数的动点的集合。师：是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？生：不能一时答出。师：把定长的绳子拉展，两端固定，问，这时到两定点距离之和等于绳长的点的集合是什么？生：是一条线段F1F2。师：平面上存在不存在到两个定点距离之和小于的点？生：不存在。师生共同小结：在平面上到两个定点F1F2距离之和等于定值2a的点的轨迹：①当2a＞时是椭圆；②当2a＝时是线段；③当2a＜不存在。最后由学生叙述教师板书：把平面内与两个定点F1F2距离之和等于定值2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a＞6 。顺便可以指出两个定点叫做焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c(c＞0)表示。2.推导椭圆标准方程师：由刚才所归纳出椭圆定义可知，我们现在就是要求到两个定点F1、F2距离之和等于定值2a（2a＞）的点的轨迹方程。大家想一想求曲线方程的步骤是什么？生：求曲线方程的步骤是：①建立坐标系设动点坐标；②寻找动点满足几何的条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；⑤检验其完备性。师：那么此题应如何建立坐标呢？建立直角坐标系一般应使图形不旋转、不转移为最好，如果是对称图形尽量以对称轴为坐标较好。这样大体上有以下几种方案：（1）取一个定点为原点，以F1，F2所在直线为x轴或y轴建立直角坐标系；（2）以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为坐标原点建立直角坐标系；（3）以F1、F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为坐标原点建立直角坐标系。选定方案（2）推导方程。解：（1）建立如图坐标系，设F1(-c,0),F2（c,0）,设M（x，y）是椭圆上任意一点；（2）点M应满足=2a（3）坐标化：＋＝2a①（4）简化。师：如何化简根式方程？生：移项平方，再移项再平方。师生共同完成：由①＝2a-,两平方得：（x＋c）2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2a2-cx=a,两边再平方得：6 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得：（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)师：到此我们已经推出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，为了使方程形式简洁和谐且便于记忆和使用，我们应如何将方程进行变形呢？师生共同：a，c都是定值，a2-c2应是一定值，且2a＞2c＞0,a＞c＞0,a2＞c2,于是不妨令b2=a2-c,则方程就变形为：b2x2+a2y2=a2b2,如再化简得：…（*）师：这里a和b关系如何？为什么？生：a＞c＞0,a＞b＞0师：①（*）方程就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，其中条件a＞b＞0不可缺少，当a=b=0时，就表示圆心在坐标原点的圆的方程，因此，圆是椭圆的特例；②引进b一开始是为了方程形式简洁与和谐，但我们发现b有它的突出几何意义，它表示椭圆在y轴上的正截距，且图中Rt△F1OM清楚地反映出b2=a2-c2；③请同学们想一想：如果我们选用第③种方程（即焦点在y轴上）建立坐标系，得到方程形式又如何呢？生：由于焦点在y轴上的椭圆相当于是焦点在x轴上的椭圆关于直线y＝x的对称图形，因此，方程形式应为：（a＞b＞0）师：课后请同学们进行推导验证。三、例题例1.平面内两个定点间的距离为6，写出到这两个定点距离之和为8的点的轨迹方程。学生解：所求轨迹是椭圆，两个定点为焦点，用F1，F2表示，以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则2a=8,2c=6,a=4,c=3,∴b2=a2-c2=7,故所求轨迹方程为6 注意：本题的主要问题是：很多学生不建立坐标系就写出了方程，因此，老师要强调建立不同坐标系会得到不同的方程，题中未给出坐标系时，首先应选择适当的关系。例2.已知定圆C：x2+y2+8x-84=0，动圆M和圆C相内切且过点P（4，0），求动圆心M的轨迹方程。分析：师：由两圆相切，可得到什么结论？生：圆心距等于大圆半径减小半径。师：请用数字语言表示此结论。生：师：此结论即，说明什么？生：因为8＜10，所以圆心M的轨迹是以P、C为焦点的椭圆。师：对，很好。下面请同学们把解题过程写在笔记本上。解：圆C：（x+4）2+y2=100,其圆心C（-4，0），半径r＝10，所以P（4，0）在定圆内，设动圆M（x,y）,则为动圆半径，又圆M和圆C内切，所以，即，故M点的轨迹是以P、C为焦点的椭圆，且PC中点为原点，这里2a=10,2c=8,∴b2=9故动圆圆心M的轨迹方程是：。课堂练习：1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程（1）a=1,b=,焦点在x轴上；答：所求方程为。6 （2）b=3,c=,焦点在y轴上；答：所求方程为。（3）两个焦点分别是：（－1，0），且过P解：2c=2,设所求方程为：过，∴可求得a2=2,b2=1故所求方程为2.已知：△ABC的一边长BC＝，周长为，求顶点A的轨迹方程。略解：以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角坐标系，由已知条件得：，由椭圆定义得A点轨迹方程为（y≠0）四、小结：1.本节课研究了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，其中应该注意定义中的条件以及焦点的位置与方程形式的关系；2.巩固了求曲线方程的方法和步骤，渗透了用运动变化的观点研究问题。布置作业：（1）看书P112—P116（2）P164、5，P175、66