高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 练习含解析

4.1.1圆的标准方程【基础练习】1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(  )A．在圆内 B．在圆上C．在圆外 D．不确定【答案】C【解析】∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．2．圆心为(2,2)且过原点的圆的方程是(  )A．(x－2)2＋(y－2)2＝2B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝8D．(x－2)2＋(y－2)2＝8【答案】D【解析】设半径为r，则r2＝(2－0)2＋(2－0)2＝8，∴圆心为(2,2)且过原点的圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为(  )A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4D．(x－3)2＋y2＝4【答案】A【解析】已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.4．(2019年广东广州综合测试)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(  )A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】画出已知圆如图，圆心M(3，－1)到定直线x＝－3的距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4. 5．圆心在y轴上，半径为1且过点(1,2)的圆的方程为________．【答案】x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆心(0，b)，则圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝1，把(1,2)代入得12＋(2－b)2＝1，∴b＝2.∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.6．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为________．【答案】1＋【解析】的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，因此最大值为＋1.7．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．【解析】(1)圆心所在的直线为线段PQ的垂直平分线，PQ中点M，kPQ＝－1，则圆心所在直线的斜率为1，所以圆心所在的直线方程为y＝x.(2)由条件设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1.由圆过点P，Q，得解得或所以圆C方程为x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.8.求圆2＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程．【解析】圆2＋(y＋1)2＝的圆心为M，半径r＝.设所求圆的圆心为(m，n)，∵它与关于直线x－y＋1＝0对称，∴解得 ∴所求圆的圆心坐标为，半径r＝.∴对称圆的方程是(x＋2)2＋2＝.【能力提升】9．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是(  )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13    B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52    D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52【答案】B【解析】如图，结合圆的性质可知，圆的半径r＝＝.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.10．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则的最小值为(  )A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】由几何意义可知最小值为14－＝1.11．已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是__________．【答案】∪【解析】y＝表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率．如图，A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3，0)，则kAB＝，kAC＝－，∴t≤－或t≥. 12．设O为原点，P(5,0)，Q(0，－12)，求△OPQ的外接圆的方程．【解析】显然∠POQ＝90°，△OPQ为直角三角形．∴外接圆的圆心为线段PQ的中点．∴外接圆的半径r2＝＝，圆心为C2，∴外接圆的方程为2＋(y＋6)2＝.