高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 导学案

2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程知识梳理1.圆的定义从运动的观点来看，圆是平面上到定点距离等于定长的点的轨迹，其中定点是圆心，定长是半径，其定义式为|CM|=r.2.圆的方程(1)圆心在原点，半径为r的圆的方程为x2+y2=r2.(2)圆心为(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.(3)圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,限制条件是D2+E2-4F＞0,其中待定系数D、E、F由方程组解出.3.点与圆的位置关系:设点P(x0,y0)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2，则点P在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2|PC|=r；点P在圆外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2|PC|＞r；点P在圆内(x0-a)2+(y0-b)2＜r2|PC|＜r.知识导学要学好本节内容,可从回顾确定直线的要素——两点(或者一点和斜率)确定一条直线的基础上,回顾确定圆的几何要素——圆心位置和半径入手.要求圆的标准方程,只需求出圆心坐标和半径.若借助于弦心距、弦、半径之间的关系或三角形外接圆的相关性质,可大大简化求解的过程与难度.圆的一般方程中也含有三个参数,必须具备三个独立的条件才能确定一个圆.在用待定系数法求圆的方程时,要注意结合题目的条件先选择好圆的方程,再确定参数.要注意圆的一般方程与标准方程的互化.疑难突破1.在方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中,当D2+E2-4F≤0时,它表示什么图形?剖析:由于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+)2+(y+)2=,因此,当D2+E2-4F=0时,原方程即为(x+)2+(y+)2=0,此时,这个方程表示一个点(-,-)；当D2+E2-4F＜0时,这个方程即为不等式(x+)2+(y+)2＜0,而这个不等式的解集为空集,此时,这个方程不表示任何图形.当D2+E2-4F＞0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,此时这个方程叫做圆的一般方程.由(x+)2+(y+)2=可知,圆心为(-,-),半径为.2.如何求圆关于一个点、一条直线的对称圆的方程？2 剖析:圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2关于点P(x0,y0)对称的圆的方程也就是找圆心C(a,b)关于点P(x0,y0)的对称点,得到对称圆的圆心,半径不变;同理求圆关于直线mx+ny+p=0对称的圆的方程,只需求圆心关于直线的对称点.圆是一种非常优美、特殊的图形,确定了圆心和半径,圆就完全确定下来,利用对称特点把问题转化.在解决问题时,要考虑图形的特点和性质.如一个圆关于某条直线对称,则直线一定经过圆心.两个等圆的对称轴方程是两圆的方程相减所得方程.2