高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 学业分层测评含解析

2019-2020年高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程学业分层测评含解析新人教A版必修一、选择题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(  )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】 由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】 D2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则(  )A．a2＋b2＝0B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0D．a＝0，b＝0【解析】 由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.【答案】 B3．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是(  )A．1  B．4C．5D．6【解析】 圆心(0,0)到M的距离|OM|＝＝5，所以所求最小值为5－1＝4.【答案】 B4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为(  )A．(x＋1)2＋y2＝1B．x2＋y2＝1C．x2＋(y＋1)2＝1D．x2＋(y－1)2＝1【解析】 由已知圆(x－1)2＋y2＝1得圆心C1(1,0)，半径长r1＝1.设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(a，b)，则解得所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.【答案】 C5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(  )A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－2)2＝5【解析】 直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.由得∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.【答案】 C二、填空题6．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________.【解析】 ∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，∴|a|>，即a>或a或a0)，∵A，B∈圆C，C∈l，∴解得故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25.法二：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵C∈l，∴2a＋b－5＝0，则b＝5－2a，∴圆心为C(a,5－2a)．由圆的定义得|AC|＝|BC|，即＝.解得a＝1，从而b＝3，即圆心为C(1,3)，半径r＝|CA|＝＝5.故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25. 9．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．【解】 法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.[能力提升]10．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，则△ABC的外接圆方程是(  )A．(x－2)2＋(y－2)2＝20B．(x－2)2＋(y－2)2＝10C．(x－2)2＋(y－2)2＝5D．(x－2)2＋(y－2)2＝【解析】 易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r＝，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.【答案】 C11．(1)如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值；(2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝，求的取值范围．【解】 (1)法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时最大，过圆心A(2,0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝.∴切线l的倾斜角为60°，∴的最大值为. 同理可得的最小值为－.法二：令＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，∴－≤n≤，即的最大值、最小值分别为、－.(2)可以看成圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离．圆心C(0,1)到A(2,3)的距离为d＝＝2.由图可知，圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离的范围是.即的取值范围是.