高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 教学设计

《圆的标准方程》教学设计席静一、教材分析《圆的标准方程》是人教版高中数学必修2第四章第一节的内容，属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始。本节是在前一章学习《直线与方程》的基础上，继续用代数方法来研究几何问题，为后续圆锥曲线的学习打下了基础，因此它在整个解析几何中起着承前启后的作用。二、学情分析1．心理特征分析：高一学生心理正逐步走向成熟；已有独立思考的意识；勇于思索，对自己感兴趣的问题特别关注；喜欢进行合作学习。2．学习能力分析：具备一定的观察思考能力、探索创新能力及分析解决问题的能力；有较强的求知欲。3．已有的知识经验：学生对圆的概念及基本性质有了初步的认识；对数形结合的思想有了初步的体验。4．学习障碍分析：对解析几何的解题方法不太熟练，对曲线方程不够了解，探究问题能力、合作交流意识有待加强。三、教学目标(1)知识与技能目标：①在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；②会根据已知条件求圆的标准方程；③会判断点与圆的位置关系。(2)过程与方法目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；②加深对数形结合思想和待定系数法的理解；③培养学生自主探究的能力。(3)情感态度目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣；③培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质。四、教学重、难点及解决策略：1.重点:圆的标准方程的推导及应用。2.难点：(1)由已知条件求圆的标准方程；(2)判断点与圆的位置关系。3.解决策略：教师启发诱导、任务驱动、跟踪指导，学生自主探究、合作交流、小组展示，师生共同解决问题，从而达到突破重、难点的目的。五、教学过程（整个教学过程是由若干个问题组成的问题链来驱动的，总共分为五个环节。）复习提问导入新课课堂小结拓展延伸深入探究获得新知应用举例巩固提高反馈训练形成能力(一)复习提问，导入新课（小组讨论、展示，教师补充） （圆的图片欣赏）问题1：观察圆的形成过程，回答：具有什么性质的点的轨迹称为圆？构成圆的两个要素是什么？教师：在课件上演示圆的形成过程学生：观察、思考、回答上述问题。平面内与定点距离等于定长的点的轨迹称为圆；圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小。设计意图：我以图片吸引学生，以问题导入新课，意图在于通过对已学知识的回顾，为本节课的学习做好铺垫，同时也激发了学生学习新知识的兴趣和欲望，把学生的思维吸引到研究圆的方程来。OM(x，y)(二)深入探究，获得新知yC(a，b)问题2：怎样推导圆心C(a,b),半径为r的圆的方程呢？x1．设点：设圆上任一点M坐标为(x，y)。2．写点集：根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程：由两点间的距离公式得：4．化简方程：将上式两边平方得：(1)5．引导学生自己证明，方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的标准方程。设计意图：新课标指出：数学教学是师生互动与共同参与的过程。这里，在我的启发引导下，让学生通过观察、探究、交流，亲身经历数学知识的形成过程，有助于学生形成扎实的数学基础和良好的思维品质。问题3：当圆心在原点时，圆的方程是什么？圆的方程形式有什么特点？（学生讨论交流，教师适时点拨）（1）当圆心在原点即C(0，0)时，方程为（2）圆的方程形式特点：是二元二次方程，左边是x，y与实数差的平方和；方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数；含a，b，r三个参数，必须有三个独立的条件才可以确定一个圆。。问题4：通过求圆的方程，你能归纳出求曲线方程的一般步骤吗？求曲线方程的一般步骤为：建系→设点→列式→代入→化简→证明设计意图：问题4的设计是想让学生加深对圆的标准方程的理解，问题5的解决为后面推导圆锥曲线的方程打下了基础。(三)应用举例，巩固提高（本环节我分为直接应用和灵活应用两个层次）直接应用：1．写出下列各圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径为3；（2）经过点P(5，－1)，圆心在点C(8，－3)2．写出下列圆的圆心坐标和半径（1）（2）设计意图：我设计的两个小题，都比较基础，学生很容易完成，这样不但增加他们学习的兴趣和信心，还能加深其对圆的标准方程的理解和应用，为后面的例题学习做了准备。 灵活应用：例1、写出圆心为A(2,-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点P(5，－7)，Q(－3，1)与圆的位置关系。教师引导学生思考，结合圆的定义，得点与圆关系的判断方法。设计意图：例1是坐标法思想的体现，共有两问，第一问是给出圆心坐标和半径让学生快速写出圆的标准方程，是由几何到代数；第二问是判断点与圆的位置关系，是由代数到几何。具体方法如下：方法一：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则若d＞r点在圆外；若d=r点在圆内；若d＜r点在圆内。方法二：圆的标准方程的左边表示圆上的点到圆心距离的平方，右边表示半径的平方，通过比较的大小关系也能判断点与圆的位置关系。即点的坐标代入方程，比较左右两边的大小。例2、△ABC的三个顶点坐标分别为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆方程。教师引出待定系数法。总结就是三步：设、列、求。这种方法易于思考，易于列式，难于计算，这就需要同学们有扎实的计算能力，也需要同学们平时多多练习。问题6：结合图形思考，本例题还有其他的解法吗？（学生讨论交流，小组展示）解法二：由圆的定义可知，要求圆的方程需求出圆的圆心和半径。求出三条线段AB、BC、AC中其中两条的中垂线，联立方程组的圆心M坐标，圆心到圆上的点的距离即为半径。引导学生总结出圆的标准方程的第二种求法——几何法。设计意图：让学生总结出圆的标准方程的两种求法——待定系数法和几何法。要求学生在解题过程中能择优应用，进一步培养学生一题多解的发散思维能力和数形结合的思想。例3、己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.解法一：待定系数法：设出方程，根据题中条件列出三个式子，求出系数a、b、r。解法二：几何法：利用圆的性质做等价转化，即弦的中垂线经过圆心。联立方程求出圆心和半径。解法三：圆心在直线l:x-y+1=0上，设圆心C坐标（一个未知数表示），利用圆的定义圆心到圆上任意一点的距离即为半径。再根据半径相等列式，求出未知数。设计意图：我预设了3种方法，它既是对圆的标准方程求法的进一步巩固、强化和提高，又一次为学生的发散思维创设了空间，最后安排学生讨论交流，使学习气氛达到高潮。（四）、反馈训练，形成方法当堂检测：求满足下列条件的圆的方程：(1)已知点A（2，3），B（4，9）,以线段AB为直径的圆；(2)圆心为(0,-3)，过(3,1);(3)圆心为坐标原点，且与直线4x+2y-1=0相切；(4)圆过点(0,1)和（0，3），半径等于1； （学生独立完成，暴露出问题，教师及时纠正）设计意图：我设计四个小题作为巩固性训练，使学生掌握不同条件下的求圆的方程的求法，要求学生限时、独立完成，让学生体验学习数学的乐趣、成功的喜悦，从而增强学好数学的信心。（五）、小结反思，拓展延伸（一）课堂小结学生：思考交流，小组展示。教师：及时补充。要体现三个方面：（1）、知识：圆的标准方程形式和方程的结构特点。（2）、方法：求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)几何法．推导圆的标准方程的方法判断点与圆的位置关系的方法（3）、思想数形结合思想设计意图：在这个环节里，先由同学们组内交流、小组展示，使学生在互相交流中获得更多的学习经验，最后由老师作全面总结，这样，学生对本节课的知识掌握的才更加系统牢固。（二）布置作业作业1、课本第120页：1、3、4作业2、思考题：将圆的标准方程展开，我们将会得到什么的方程？是否所有的这种形式的方程都可以表示圆的方程？设计意图：在此，我设计两个作业作为本节课的巩固和延伸，完成作业一，达到巩固本节知识的效果；完成作业二，为下节课学习圆的一般方程做好预习工作，从而起到温故知新的作用。六、板书设计分析为了使整个版面思路清晰，层次分明，能抓住学生的注意力，我设计板书如下：圆的标准方程一、复习提问二、圆的标准方程：1．推导2．特征3．圆心在原点时，方程为三、应用举例1.直接应用2.灵活应用例1例2例3提炼升华：1．点与圆的位置关系；2．求圆的标准方程的方法：待定系数法、几何法；3．数形结合思想四、反馈练习五、课堂小结六、布置作业七、教学评价分析：1.为了激发学生的主体意识，本节课我采用了“问题探究”教学法。 即把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式。2.在问题的设计中，我用一题多解的探究方式，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破。3.每个环节都力争给学生创造一种思维情景，一种主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题的同时锻炼了思维能力、培养了学习兴趣、增强了学好数学的愿望与信心。以上是我对本节课的教学设想，实际教学中会生成一些新的资源，我会及时调整我的预案,以求达到最佳的教学效果。