圆的标准的方程和切线问题

圆的标准的方程和切线问题董恒甫职校孙宏萍教学目标:知识目标：1.使学生掌握圆的标准方程和切线的探求过程和方法.2.通过教学,使学生学习运用观察,类比,联想,猜测,检验等推理方法,提高学生运算能力,逻辑推理能力.能力目标：3.培养学生勇于探索,坚忍不拔的品质.教学重点根据条件求出圆的标准方程或圆的切线方程教学难点圆的切线的求法教学过程:前面我们学习了曲线和方程的关系，请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？建系、设点、列式、化简四步曲，用这个方法我们求出了圆心在原点，半径为5的圆方程。用这个方法能否求出圆心在，半径为的圆方程1．推导圆的标准方程:圆的标准方程由哪些量决定？是否可以和平面几何中有关理论联系起来？例1：已知A（4，9）和B（6，3），求以AB为直径的圆的方程，并且判断点M（6，9）N（3，3）Q（5，3）是在圆上，圆内，圆外？由此可见，若点在圆上，点的坐标与圆的方程有什么关系？点在圆外？点在圆内？在圆上Û在圆外Û 在圆内Û2．直线与圆的位置关系这道题研究了点与圆的关系，那么直线与圆的位置关系有哪些？相交、相切、相离。相切是直线和圆的位置关系中比较常见，也比较重要的位置关系，在解析几何中我们研究曲线常常要求出切线的方程，你能求出这圆上一点的切线方程吗？例2．已知圆的方程：x2+y2=13，求经过圆上一点P（3，2）的切线方程已知圆的方程：x2+y2=9，求经过圆上一点P（3，0）的切线方程已知圆的方程：x2+y2=25，求经过圆上一点P（4，-3）的切线方程已知圆的方程：x2+y2=13，求经过圆上一点P（-3，2）的切线方程分组运算4小题。通过以上的运算同学们是否发现规律？若将已知条件中圆的半径改为ｒ，点改为圆上任一点，结论将会发生怎样的变化？推广：这个问题相当于：已知：，求过圆上一点的切线方程。猜测的结果是：下面请同学们给予证明：在证明的过程中要注意直线斜率不存在的情况，分类讨论。1)切线斜率不存在，2)半径斜率不存在，3)切线和半径斜率存在按照这个方法，若圆的方程是，求过圆上一点的切线方程？猜测这个结果，并给予证明。猜测结果为1)若切线及半径的斜率都存在，OP的斜率，所以切线的斜率即切线方程为2)若切线或半径的斜率不存在时，切线的方程也是上式。 我们发现，计算的结果与大家猜测的结论不同，问题出在哪里？通过方程变形，最后得出结论，与同学们猜测的结论一致！例3．求过点，且与圆相切的直线的方程．解：设切线方程为，即，∵圆心到切线的距离等于半径，∴，解得，∴切线方程为，即，当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，故直线也适合题意。所以，所求的直线的方程是或．例4．已知一圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，求此圆的方程．解：∵圆心在直线上，∴设圆的方程为，∵圆与轴相切，∴，又圆心到弦的距离为，∴，∴，，所以，所求的圆方程为或．说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再用其余的条件求待定的系数；3．课堂小结：1经过圆上一点，有且只有一条切线2经过圆外一点，有两条切线3求圆的切线时，特别注意点与圆的位置关系，不能盲目的套用公式。 4．作业：课本第88页复习参考题第23题，补充：1．过点且与圆相切的直线的方程是．2．已知圆：，求圆的在两坐标轴上截距相等的切线方程．3．过圆外一点作直线与圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程．4．已知一圆与直线切于点，且截轴所得弦长为，求圆的方程．5．求经过点，且与直线、都相切的圆的方程．教学设计：1在探询圆的标准方程的过程中，引导学生用代数的方法研究平面几何中常见曲线——圆2从简单到复杂，一般的，使用观察的，猜测，经验归纳等推理方法，运用一般的解题方法求出圆：，求过圆上一点的切线方程。同时提出思考：若改变条件，若圆的方程是，过圆上一点的切线方程？在课堂上，通过问题和建议控制研究的方向和进程，帮助学生建立自信心，共同度过难关。孙宏萍