【三维设计】2015高中数学第1部分4.1.1圆的标准方程课时达标检测新人教A版必修2一、选择题1.已知点P(3,2)和圆的方程(x-2)2+(y-3)2=4,则它们的位置关系为( )A.在圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外解析:选C ∵(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P在圆内.2.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心、半径是( )A.(1,-2),4B.(1,-2),2C.(-1,2),4D.(-1,2),2答案:D3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析:选A 法一(直接法):设圆心坐标为(0,b),则由题意知=1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.法二(数形结合法):根据点(1,2)到圆心的距离为1,易知圆心为(0,2),故圆的方程为x2+(y-2)2=1.法三(验证法):将点(1,2)代入四个选择项,排除B、D,又由于圆心在y轴上,排除C,选A.4.以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-2)2=10B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=25解析:选D 圆心坐标为(1,2),半径r==5,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25.5.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为( )A.(x-1)2+(y+2)2=5B.(x+1)2+(y+2)2=5C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=5
解析:选C 直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0.由得,∴C(-1,2),∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.二、填空题6.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是__________________.解析:由可得x=2,y=4,即圆心为(2,4),从而r==2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.答案:(x-2)2+(y-4)2=207.点(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是________.解析:由于点在圆的内部,所以(5+1-1)2+()2<26,即26a<26,又a≥0,解得0≤a<1.答案:0≤a<18.若圆心在x轴上,半径为的圆C位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆C的方程是________.解析:如图所示,设圆心C(a,0),则圆心C到直线x+2y=0的距离为=,解得a=-5,a=5(舍去),∴圆心是(-5,0).故圆的方程是(x+5)2+y2=5.答案:(x+5)2+y2=5三、解答题9.求经过A(-1,4),B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程.解:法一:设圆心坐标为(a,b).∵圆心在y轴上,∴a=0.设圆的标准方程为x2+(y-b)2=r2.∵该圆过A,B两点,∴解得∴所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.法二:∵线段AB的中点坐标为(1,3),kAB==-,∴弦AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1),即y=2x+1.由解得∴点(0,1)为所求圆的圆心.由两点间的距离公式,得圆的半径r=,∴所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.10.求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x-2y-1=0相切的圆的方程.
解:圆心在线段AB的垂直平分线y=6上,设圆心为(a,6),半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=r2.将点(1,10)代入得(1-a)2+(10-6)2=r2,①而r=,代入①,得(a-1)2+16=,解得a=3,r=2,或a=-7,r=4.故所求圆为(x-3)2+(y-6)2=20,或(x+7)2+(y-6)2=80.