《圆的标准方程》教学案例设计高一数学备课组一.设计思想圆的标准方程处于数学必修2中的最后一章的第一节，是本章的核心概念,也是解析几何中的基本概念。圆的方程是在第三章直线方程结束后进行的，所以本节课从温故知新入手，以直线方程为背景，按照“温故---知新---练习---应用---小结”的顺序结构，引导学生通过联系以前的知识，数学地提出、分析、解决新知识，在应用时以生活中的实例为背景，进一步让学生理解数学是有用的。二．教学目标：1．知识与技能通过本节知识的学习，我们将通过圆的本身特性，用代数的语言描述它，用代数的工具解决它的问题。进一步体现解析几何的思想和待定系数法的应用。2．过程与方法本节内容通过对直线的方程的回忆基础上，引导我们用方程语言刻画圆的特征，然后通过具体例题，思考、探究、练习中的问题，再用所学的知识解决一个实际问题。做到学以致用。3．情感、态度与价值观通过本节知识的学习，将培养我们联系旧知识、提出问题、解决问题的探究能力，进一步培养我们学习数学的兴趣。三．重点难点重点：1.对圆的方程的理解；2.待定系数法求圆的方程。难点：待定系数法的掌握和应用。四．教学过程1、温故：前一章我们主要学习了直线的方程，它的各种形式，以及直线处于不同位置时直线方程所满足的条件。那我们首先来回忆一下，我们是怎样将直线和方程建立起联系的，一个方程满足什么条件时，我们称之为这个直线的方程？学生答：直线上的点的坐标（x,y）都满足这个方程；且满足这个方程的（x,y）都在这个直线上，这时我们称这个方程为这个直线的方程。
那么，我们今天的任务是学习圆的方程，你在学习圆的方程之前能否说出，什么样的方程才能称之为圆的方程吗？学生答：圆上的点的坐标（x,y）都满足这个方程；且满足这个方程的（x,y）都在这个圆上。那我们就可以从这两点出发，找出圆的方程。2、知新首先第一步圆上的点的坐标都要满足这个方程，也就是说这个方程就是圆上任一点坐标都满足的式子。那我们首先要给出一个圆，我们想得到一个圆，要知道哪些条件？（圆心和半径）（1）先看一个特殊情况：已知圆心在原点，半径为2的圆，那么它上面的点的坐标都满足什么条件？任一点（x,y）到圆心的距离都等于2也就是：或者（2）再一般点，已知圆心在(a,b)，半径为r的圆上的坐标满足什么条件？（x,y）到（a,b）的距离等于r写成式子就是：或者这个式子具有代表性，任一个圆上的点的坐标都可以表示成这种形式。
其次再来考虑第二个条件，满足这个方程的（x,y）是否一定在这个圆上呢？答：只要（x,y）满足这个方程，则(x,y)到（a,b）的距离就等于r，则这个点就一定在该圆上。通过以上两点的考证，我们非常顺利地得出了圆的方程：圆心在(a,b)，半径为r的圆的方程：这种形式的圆的方程我们称之为圆的标准方程。与直线方程类似，我们接下来还要学习圆的其他形式的方程。观察这个标准方程，总结一下它的特点：（1）有两个变量x,y，形式都是与某个实数差的平方；（2）两个变量的系数都是1；（3）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。3、练习我们对于刚才的结论做一些相应的练习，加深影响：练习1：根据已知条件写出下列圆的方程：（1）圆心坐标为（-2，1），半径为3；（2）圆心为（2，-1），且过点（3，3）；（3）圆心为（3，1），且与直线3x-4y-6=0相切。练习2：根据下列方程，指出圆的圆心位置以及半径：（1）（2）注意：这里的a，并不一定是半径，半径应该是|a|.练习3：判断下列点是否在圆上：（1）A（3，0）（2）B（1,1）(3)C(2,-2)再问：不在圆上的点是在圆内还是圆外？如何判定？要时刻注意圆的标准方程的形式是有其重要的几何意义的，它的左边就表示到圆心距离的平方，所以，将点的坐标代入圆的方程，如果坐标等于右边，则在圆上，若左边大于右边，则说明距离原点的距离大于半径，一定是在圆外，若左边小于右边，则在圆内，即：点（x,y）在圆上；点（x,y）在圆外；点（x,y）在圆内。4、思考
如何确定一个圆？除了刚才所说的一个圆心和半径，还有什么？几个点可以确定一个圆？三个不在同一条直线上的点可以确定一个圆。那么给出三个点的坐标：例1：已知A(5,1),B(7,-3)，C(2,8)，则写出过这三个点的圆的方程。分析：相当于求三角形ABC的外接圆的方程。要想写出方程，必须知道圆心和半径。如何求圆心和半径呢？根据外接圆的性质，圆心应该是三条边的垂直平分线的交点，所以可以根据顶点坐标求出垂直平分线的方程，在求出平分线的交点坐标即圆心坐标，在根据两点间距离公式求半径的长度。当然这样做虽然很麻烦，但毕竟我们用我们以前所学的知识找到了解决问题的办法。那么现在再想想，有没有别的出路？要求圆的方程，不如先设出它的方程来，再解出未知数。设该圆的方程为：，根据条件，三个点的坐标都满足该方程，列出式子，解出未知数：a,b,r即可。解：设该圆的方程为，则解出：a=2,b=-3,r=5所以：圆的标准方程为：这种方法在数学中很常见，叫做待定系数法。就是要求什么就把未知数先设出来，然后根据条件列方程解出未知数来。总结就是三步：设、列、解。这种方法易于思考，易于列式子，难点就是解未知数时，有时会遇到困难，这就需要同学们有扎实的计算和观察能力，也需要同学们平时多多练习，数学总是熟能生巧的。再来思考一道更加复杂一些的题目：例2：已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)且圆心C在直线L:x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。分析：1、利用图像的性质，圆心一定在线段AB的垂直平分线上，又已知在直线L上，所以先求出AB的垂直平分线方程，和直线L的方程联立，解出圆心坐标，在计算出半径，即可写出圆的标准方程。这叫数形结合法。
2、那么利用我们刚才所学的待定系数法可以解决问题吗？设出圆的方程，已知两点坐标代入得到两个方程，又将圆心代入直线L的方程列一个方程，三个方程，三个未知数，解出即可。5、应用下面我们来看一个实际的问题，大家都知道我国著名的赵州桥，建于1500年，单圆拱石桥，全长64.4米，最大圆拱跨径37.4米，拱高7.2米。设计思想和建造工艺事世界石拱桥的卓越典范，它的建造是中国古代数学、物理学、工程学的结晶，体现了中国古代劳动人民的智慧和力量。你能确定圆拱所属圆的圆心和半径吗？我们把它抽象成简单的数学模型：在此基础上建立坐标系，根据已知条件可以得到A,B,C,D点的坐标，则利用待定系数法便可解出未知数，求出圆心坐标以及半径。6、小结我们今天主要学习了圆的标准方程，以及如何判断点与圆的位置关系，如何根据已知条件求出圆的方程，在练习过程中我们还学习到了一种常用的数学方法：待定系数法，并通过练习感受到了它的作用。五．作业设计课本134页习题4.1中A组题的2，3，4，6。
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