4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．掌握点与圆的位置关系．(易错点)[基础·初探]教材整理1 圆的标准方程阅读教材P118～P119第1行的内容，完成下列问题．1．以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就惟一确定．( )(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9.( )【解析】 (1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m＝0时，不表示圆．
(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3.【答案】 (1)√ (2)× (3)×教材整理2 点与圆的位置关系阅读教材P119“例1”及“探究”部分，完成下列问题．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞rd＝rd＜r已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)( )A．是圆心 B．在圆上C．在圆内D．在圆外【解析】 圆心M(2,3)，半径r＝2，∵|PM|＝＝＜r，∴点P在圆内．【答案】 C[小组合作型]直接法求圆的标准方程 (1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52【精彩点拨】 (1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程．
(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程．【自主解答】 (1)设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝＝，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.【答案】 (1)A (2)A确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.[再练一题]1．以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25【解析】 因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16.【答案】 C待定系数法求圆的标准方程 求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．【精彩点拨】 解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径．【自主解答】 法一：设点C为圆心，
∵点C在直线：x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴＝，解得a＝－2.∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由条件知解得故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法三：线段AB的中点为(0，－4)，kAB＝＝，所以弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2，所以线段AB的垂直平分线的方程为：y＋4＝－2x，即y＝－2x－4.故圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点，由得即圆心为(－1，－2)，圆的半径为r＝＝，所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2)→列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r
的方程组)→解方程组(解方程组，求出a、b、r)→得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)．2．注意利用圆的有关几何性质，可使问题计算简单．[再练一题]2．求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程．【解】 法一 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．则解得所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.法二 因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB的中垂线上．AB中垂线的方程为y＝－(x－4)，令y＝0，得x＝4.即圆心坐标为C(4,0)，所以r＝|CA|＝＝.所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.[探究共研型]与圆有关的最值问题探究1 若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值．【提示】 原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.探究2 若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．【提示】 P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2，所以点P到直线x－y
＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2. 已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值与最小值．【精彩点拨】 x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，即点P(x，y)是圆上的点．而表示点(x，y)与点(－1，－1)的距离．故此题可以转化为求圆x2＋(y＋4)2＝4上的点与点(－1，－1)的距离的最值问题．【自主解答】 因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2，因此表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示．而|AC|＝＝，所以的最大值为|AC|＋r＝＋2，最小值为|AC|－r＝－2.1．本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．2．涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：①k＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2
的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等．[再练一题]3．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.图411【解】 设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34，最大值为2×36＋2＝74.1．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上D．不确定【解析】 ∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．【答案】 A2．以点为圆心，半径为的圆的方程为( )A.2＋(y＋1)2＝B.2＋(y＋1)2＝C.2＋(y－1)2＝
D.2＋(y－1)2＝【解析】 由圆的几何要素知A正确．【答案】 A3．经过圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为________.【解析】 圆C的圆心为(－1,2)，又所求直线的斜率为1，故由点斜式得y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.【答案】 x－y＋3＝04．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．【解析】 由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.【答案】 x2＋(y－1)2＝15．已知圆C的半径为，圆心在直线x－y－2＝0上，且过点(－2,1)，求圆C的标准方程．【解】 ∵圆心在直线x－y－2＝0上，r＝，∴设圆心为(t，t－2)(t为参数)．∴圆C的标准方程为(x－t)2＋(y－t＋2)2＝17.∵圆C过点(－2,1)，∴(－2－t)2＋(1－t＋2)2＝17.解得t＝2或t＝－1.∴圆心C的坐标是(2,0)或(－1，－3)．∴所求圆C的标准方程是(x－2)2＋y2＝17或(x＋1)2＋(y＋3)2＝17.
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