圆的标准方程的教学设计王文锋研究背景圆是现实生活中比较常见和重要的平面几何图形，在数学中圆也是最具有对称性的几何图形。必修2第三章我们学习了直线与方程，初步了解了解析几何的魅力和特点,接下来圆的学习有承上启下的作用。学生已经初步掌握了运用方程的思想来表示直线这种简单的轨迹，而圆是一种比较特殊的轨迹，学生在运用方程来描绘出圆的轨迹的过程中，使学生建立起方程和轨迹的一种对应，这对以后圆锥曲线的学习非常重要。学情分析在直线与方程的学习中学生已经对解析几何有了一定的认识，并且初步具备了在教师的指引下运用方程去表示给定条件的轨迹的能力，但是学生很难独立的把给定圆的轨迹方程很清晰的表示出来，并且如何恰当的运用数形结合的方法去解决圆的问题也是学生需要认真考虑的。学习目标1.通过本节课的学习，使学生对轨迹这一概念有更深刻的理解.会利用方程刻画出给定条件的简单的轨迹方程,并且推导出圆的标准方程.2.掌握圆的标准方程的形式特点；会判断点与圆的位置关系；学会运用待定系数法求圆的标准方程，体验运用代数语言描述圆的有关要素及其关系的方法，体会数形结合的思想。3．通过本节知识的学习，将培养我们观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的探究能力，进一步培养我们学习数学的兴趣。重点与难点解读1．对轨迹这一概念的理解2．圆的标准方程结构特征的正确认识3．在给定条件下求圆的标准方程一般思维方法教学准备本节课运用启发式和互动式教学，充分调动学生的积极性，采用多媒体教学，学生运用直尺，圆规，锻炼学生的动手能力.教学过程1．圆的标准方程的推导问题引入:在初中时我们就学习了圆，已经对圆的几何性质有了初步的认识,但这些认识只是停留在感性方面.例如我们知道圆是中心对称图形，这是我们从生活中的经验所得，但数学是严谨的，如何严谨的来论证这一简单的结论呢?显然初中所学的知识就不够了，这就要求我们从另一个角度对圆进行研究.我们知道平面直角坐标系中，坐标和点是一一对应的,既然直线可以在坐标系中用方程表示出来，那么如何把圆表示出来呢?这样有什么好处呢？我们接下来就研究这个问题。我们知道对于一个圆，如果知道了它的圆心和半径，那么这个圆就已确定了.设在平面直角坐标系中,圆心O(a,b)，半径为r，那么你能用方程把这个圆用方程表示出来吗？复习初中时圆的定义：圆是平面内到一定点距离等于定长的点的集合
我们已经简单的学习了求轨迹的方法,其实圆可以看作到定点的距离等于定长的点的轨迹。由求轨迹的方法，可以设圆上任一点为P(x,y)则有|PO|=r由点到直线的距离公式可以得出(1)这里边我们要注意P(x,y)和(1)式有什么关系？即点P在圆上，则P的坐标是否满足(1)式,反之，若点P(x,y)的坐标是方程(1)的解，则点P(x,y)是否在给定的圆上呢?这种对应关系把圆和方程联系起来，我们把圆的定义从文字语言转化为数学语言，把圆的几何性质代数化，从而体现了解析几何的特点。(1)式也叫做圆的标准方程一般情况下我们把(1)式两边平方可得（2）观察圆的标准方程形式有什么特点由圆的标准方程可以直接得到与圆有关的哪些量？圆心(a,b)，半径r若圆心在坐标原点,圆的标准方程可以写为2．点与圆的位置关系由上面讨论我们知道，若点在圆A:上，则有那么如果点在圆内，圆外，怎么用数学的语言描述呢？若在圆内,从几何角度看等价于（O为圆心），即同理，若若在圆外,从几何角度看等价于（O为圆心），即3．求圆标准的方程的方法要求圆的方程，最主要的思想就是把圆的那些要素求出来?而圆的要素就是圆心和半径，因此我们只要求出圆心和半径就可以了下面我们通过两个例子来体会一下圆的方程的基本解法例1:三角形ABC的三个顶点分别为A（5，1），B（7，-3），C（2，8）,求三角形外接圆方程.分析:三角形固定了，它的外接圆方程也就固定,我们已经知道了圆的标准方程是，因此我们只需要把A，B，C三个点的坐标分别代入圆的标准方程中,就可以把a,b,r这三个基本要素求出来。这种方法比较直接，也就是我们经常用的待定系数法，但有时候运算量稍大。
另一种想法是我们知道三角形外接圆的圆心是三角形各边中垂线的交点，而此题三角形的三边的中垂线也比较容易求出，我们可以直接求出两条中垂线方程，然后联立就可以求出圆心坐标，半径也就出来了.这种方法我们充分利用了图形的几何特征,数形结合,也是解决圆问题的典型方法.通过例一我们用两种方法求解了满足一定条件的圆的方程，第一种是纯粹的代数方法,第二种是数行结合.两种方法各有千秋,其实在解题过程中两种方法通常是结合在一起用的，这样才能发挥出解析几何的巨大威力。下面我们通过例二来感受一下.例二:已知A（4，9），B（6，3）求过A，B且在x轴上所截弦长是18的圆的方程.分析：看到所求圆经过两个定点,我们立即会想到运用待定系数法,但还需要一个条件才能把三个未知数求出来,这时候我们就得看到圆的几何特征，充分利用弦长这个条件，利用垂径定理就能够找出我们需要的第三个条件。因此在解决圆的问题时经常要数形结合,把待定系数法和数形结合的方法给联系起来。巩固练习:已知A(6,9),B(6,3)分别求满足条件的圆的方程(1)以线段A,B为直径(2)过A,B两点,且圆心在x轴上(3)过A,B且与x轴相切(4)过A,B且在x轴上截得的弦长为12通过此环节使学生深入理解知识点，使学生初步体验代数与几何结合的题型，加强“数形结合”的意识。课堂反思与规律总结1.圆的标准方程，从方程中能得到圆心与半径2.平面内的点与圆的位置关系，用代数的方法描述3.利用数形结合的方法求取圆的方程，体会解析几何的魅力学生经历自主评价，能形成价值判断意识，获得强劲的评价能力，逐步树立正确的数学价值观。反思：本节课主要实现三个目标：（1）让学生体验生活中的数学知识，激发学生的学习热情。在教学过程中，在教师的帮助下，引导学生分析、研究问题，让学生参与教学过程，体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，激发了学生的学习热情，起到了预期的效果。（2）学生经历了圆的标准方程的探索过程，进一步领会类比、分类、化归、数形结合等数学思想。在自主探索、动手实践、合作交流等学习过程中获得知识、增强技能。（3）使学生逐步体会探究新知的方法，培养学生应用新知灵活解决问题的能力。学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。在学习中，重视数学概念的理解、典型例题的分析、以及结论的形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法。整个教学过程，教师少讲，给学生以充分活动的时间与空间，让学生互相评价，总结经验，教师的重点放在解法的归纳以及坐标法的思想是否得到落实等工作上。
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