圆方程-圆的方程典型例题

-----.圆与方程--圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2．∵圆心在y0上，故b0．∴圆的方程为(xa)2y2r2．又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点．∴(1a)216r2(3a)24r2解之得：a1，r220．所以所求圆的方程为(x1)2y220．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为421，故l的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程为：kAB31y3x2即xy10．又知圆心在直线y0上，故圆心坐标为C(1,0)∴半径rAC(11)24220．故所求圆的方程为(x1)2y220．又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为dPC(21)24225r．∴点P在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？---------word范文---- -----.例2求半径为，与圆x2y24x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程．4分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(xa)2(yb)2r2．圆C与直线y0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,4)．又已知圆x2y24x2y40的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3．若两圆相切，则CA437或CA431．(1)当C1(a,4)时，(a2)2(41)272，或(a2)2(41)212(无解)，故可得a2210．∴所求圆方程为(x2210)2(y4)242，或(x2210)2(y4)242．(2)当C2(a,4)时，(a2)2(41)272，或(a2)2(41)212(无解)，故a226．∴所求圆的方程为(x226)2(y4)242，或(x226)2(y4)242．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线y0相切且半径为4，则圆心坐标为C(a,4)，且方程形如(xa)2(y4)242．又圆x2y24x2y40，即(x2)2(y1)232，其圆心为A(2,1)，半径为3．若两圆相切，则CA43．故(a2)2(41)272，解之得a2210．所以欲求圆的方程为(x2210)2(y4)242，或(x2210)2(y4)242．上述误解只考虑了圆心在直线y0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y0下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3求经过点A(0,5)，且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线x2y0与2xy0相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x2y0和2xy0的距离相等．---------word范文---- -----.x2yx2y∴．55∴两直线交角的平分线方程是x3y0或3xy0．又∵圆过点A(0,5)，∴圆心C只能在直线3xy0上．设圆心C(t,3t)∵C到直线2xy0的距离等于AC，∴2t3tt2(3t5)2．5化简整理得t26t50．解得：t1或t5∴圆心是(1,3)，半径为5或圆心是(5,15)，半径为55．∴所求圆的方程为(x1)2(y3)25或(x5)2(y15)2125．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l：x2y0的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为P(a,b)，半径为r．则P到x轴、y轴的距离分别为b和a．由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为2r．∴r22b2又圆截y轴所得弦长为2．∴r2a21．---------word范文---- -----.又∵P(a,b)到直线x2y0的距离为a2bd5∴5d2a22ba24b24aba24b22(a2b2)2b2a21当且仅当ab时取“5=”号，此时dmin．5这时有ab2b2a21a1a1∴或b1b1又r22b22故所求圆的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22解法二：同解法一，得a2bd5．∴a2b5d．∴a24b245bd5d2．将a22b21代入上式得：2b245bd5d210．上述方程有实根，故8(5d21)0，∴d5．5---------word范文---- -----.将d5b．代入方程得51又2b2a21∴a1．由a2b1b同号．知a、故所求圆的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆O：x2y24，求过点P2，4与圆O相切的切线．解：∵点P2，4不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为ykx24根据dr∴2k421k2解得k34所以y3x244即3x4y100因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x2．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用x0xy0yr2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解．例6两圆C1：x2y2D1xE1yF10与C2：x2y2D2xE2yF20相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆C1、C2的任一交点坐标为(x0,y0)，则有：---------22x0y0D1x0E1y0F10x02y02D2x0E2y0F20①②---------word范文---- -----.①－②得：(D1D2)x0(E1E2)y0F1F20．∵A、B的坐标满足方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20．∴方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20是过A、B两点的直线方程．又过A、B两点的直线是唯一的．∴两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆x2y21外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。练习：1．求过点M(3,1)，且与圆(x1)2y24相切的直线l的方程．解：设切线方程为y1k(x3)，即kxy3k10，∵圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2，∴|k3k1|2，解得k3，2241k∴切线方程为y13(x3)，即3x4y130，4当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x3，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线x3也适合题意。0或x3．所以，所求的直线l的方程是3x4y132、过坐标原点且与圆x2y24x2y50相切的直线的方程为2(y1)25解：设直线方程为ykx，即kxy0.∵圆方程可化为(x2)2，∴圆心为（2，2-1），半径为102k110，解得k3或k1y3x或.依题意有，∴直线方程为2k2123y1x.33、已知直线5x12ya0与圆x22xy20相切，则a的值为.---------word范文---- -----.解：∵圆(x1)2y21的圆心为（1，0），半径为1，∴5a1，解得a8或a18.52122类型三：弦长、弧问题例8、求直线l:3xy60被圆C:x2y22x4y0截得的弦AB的长.例9、直线3xy230截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距d3，故弦长AB2r2d22，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为AOB.3例10、求两圆x2y2xy20和x2y25的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线3xy230和圆x2y24，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线yxm与曲线y4x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.解：∵曲线y4x2表示半圆x2y24(y0)，∴利用数形结合法，可得实数m的取值范围是2m2或m22.例13圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆(x3)2(y3)29的圆心为O1(3,3)，半径r3．设圆心O1到直线3x4y113343113．0的距离为d，则d32422如图，在圆心O1同侧，与直线3x4y110平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．---------word范文---- -----.又rd321．∴与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为3x4ym0，则dm111，3242∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．设圆(3)2(y3)29的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，则O1：xd13343633431632423，d232421．∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心O1到直线3x4y334311110的距离为d，则d3223．42∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．练习1：直线xy1与圆x2y22ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是---------word范文---- -----.a1a21.∵a0，∴0a21.解：依题意有a，解得212练习2：若直线ykx2与圆(x2)2(y3)21有两个不同的交点，则k的取值范围是.2k14，∴k的取值范围是(0,4).解：依题意有1，解得0kk21333、圆x2y22x4y30上到直线xy10的距离为2的点共有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：把x2y22x4y30化为x12y228，圆心为1，2，半径为r22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C．4、过点P3，4作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆C：x12y224有公共点，如图所示．分析：观察动画演示，分析思路．解：设直线l的方程为yy4kx3即Oxkxy3k40根据dr有Ek23k41k22P整理得3k24k0解得0k4．3类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？---------word范文---- -----.例14、判断圆C1:x2y22x6y260与圆C2:x2y24x2y40的位置关系，例15：圆x2y22x0和圆x2y24y0的公切线共有条。解：∵圆(x1)2y21的圆心为O(1,0)，半径r11，圆x2(y2)24的圆心为O2(0,2)，1半径r22，∴OO25,rr23,r2r1.∵r2rOO2r1r2，∴两圆相交.共有211111条公切线。练习1：若圆x2y22mxm240与圆x2y22x4my4m280相切，则实数m的取值集合是.解：∵圆(x)2y24的圆心为O1(m,0)，半径r12，圆(x1)2(y2m)29的圆心为mO2(1,2m)，半径r23，且两圆相切，∴O1O2r1r2或O1O2r2r1，∴(m1)2(2m)25或(m1)2(2m)21，解得m12或m2，或m0或m5，52∴实数m的取值集合是{12,5,0,2}.522：求与圆x2y25外切于点P(1,2)，且半径为25的圆的方程.解：设所求圆的圆心为O(a,b)，则所求圆的方程为(xa)2(yb)220.∵两圆外切于点P，1∴OP1OO1，∴(1,2)1(a,b)，∴a3,b6，∴所求圆的方程为(x3)2(y6)220.33类型六：圆中的对称问题例16、圆x2y22x6y90关于直线2xy50对称的圆的方程是y例17自点A3，3发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在M的直线与圆C：x2y24x4yAC70相切N（1）求光线l和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A到切点所经过的路程．分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点AGOBxword范文A’------------- -----图---- -----.的对称点A的坐标为3，3，其次设过A的圆C的切线方程为ykx33根据dr，即求出圆C的切线的斜率为43k或k34进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x3y30或3x4y30最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x3y30或3x4y30222光路的距离为A'M，可由勾股定理求得AMACCM7．说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解．类型七：圆中的最值问题例18：圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是解：∵圆(x2)2(y2)218的圆心为（2，2），半径r32，∴圆心到直线的距离d1052r，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2(dr)(dr)2r62.例19(1)已知圆(3)2(y4)21，P(x,y)为圆O上的动点，求dx2y2的最大、最O1：x小值．(2)已知圆O2：(x2)2y21，P(x,y)为圆上任一点．求y2的最大、最小值，求x2y的x1最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．解：(1)(法1)由圆的标准方程(x3)2(y4)21．可设圆的参数方程为x3cos,是参数）．y4sin（,则dx2y296coscos2168sinsin2266cos8sin2610cos()（其中tan4）．3所以dmax261036，dmin261016．---------word范文---- -----.(法2)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离'1，圆上点到原点距离d1加上半径的最小值d2等于圆心到原点的距离'd1减去半径1．所以d1324216．d2324214．所以dmax36．dmin16．(2)(法1)由(x2)2y21得圆的参数方程：x2cos,是参数．ysin,则y2sin2．令sin2t，x1cos3cos3得sintcos23t，1t2sin()23t23tsin()133t33．1t244所以tmax3333，tmin4．4即y2的最大值为33，最小值为33．x144此时x2y2cos2sin25cos()．所以x2y的最大值为25，最小值为25．y2k，则kxyk20．由于P(x,y)是圆上点，当直线与圆有交点时，如(法2)设1x图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值．2kk2133由dk2，得k．14---------word范文---- -----.所以y2的最大值为33，最小值为33．x144令x2yt，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值．由d2m1，得m25．5所以x2y的最大值为25，最小值为25．例20：已知A(2,0)，B(2,0)，点P在圆(x3)2(y4)24上运动，则PA22PB的最小值是.解：设P(x,y)，则2PB2(x2)2y2(x2)2y22(x2y2)8228设圆心PAOP.为C(3,4)，则OPminOCr523，∴PA2PB2的最小值为232826.练习：1：已知点P(x,y)在圆x2(y1)21上运动.（1）求y1的最大值与最小值；（2）求2xy的最大值与最小值.x2解：（1）设y1k，则k表示点P(x,y)与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k取得x2最大值与最小值.由2k1，解得k3，∴y1的最大值为3，最小值为3.k213x2332ym，则m表示直线2xym在y轴上的截距.当该直线与圆相切时，m取得最（）设2x1m1，解得m15，∴2xy的最大值为15，最小值为15.大值与最小值.由52设点P(x,y)是圆x2y21是任一点，求uy2的取值范围．x1分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，转化为三角问题来解决．解法一：设圆x2y21上任一点P(cos,sin)则有xcos，ysin[0,2)sin2，∴ucosusin2∴ucos1∴ucossin(u2)．即u21sin()u2（tanu）---------word范文---- -----.∴sin()(u2)u2．1又∵sin()1∴u21u21解之得：u3．4分析二：uy2的几何意义是过圆x2y21上一动点和定点(1,2)的连线的斜率，利用x1此直线与圆x2y21有公共点，可确定出u的取值范围．解法二：由uy2得：y2u(x1)，此直线与圆x2y21有公共点，故点(0,0)到直线的距离d1．x1∴u21u21解得：u3．4另外，直线y2u(x1)与圆x2y21的公共点还可以这样来处理：由y2u(x1)消去y后得：(u21)x2(2u24u)x(u24u3)0，x2y21此方程有实根，故(2u24)24(u21)(u24u3)0，u解之得：u3．4u的范围问题转化成三角函数的说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．3、已知点A(2,2),B(2,6),C(4,2)，点P在圆x2y2222的4上运动，求PAPBPC最大值和最小值.类型八：轨迹问题例21、基础训练：已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为1，求点M的轨迹方程.2例22、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.---------word范文---- -----.例23如图所示，已知圆O：x2y24与y轴的正方向交于A点，点B在直线y2上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设H(x,y)，找x,y的关系非常难．由于H点随B，C点运动而运动，可考虑H，B，C三点坐标之间的关系．解：设H(x,y)，C(x',y')，连结AH，CH，则AHBC，CHAB，BC是切线OCBC，所以OC//AH，CH//OA，OAOC，所以四边形AOCH是菱形．所以CHOA2，得y'y2,x'x.又C(x',y')满足x'2y'24，所以x2(y2)24(x0)即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．例24已知圆的方程为x2y2r2，圆内有定点P(a,b)，圆周上有两个动点A、B，使PAPB，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB，PQ交于M，显然OMAB，ABPQ，---------word范文---- -----.在直角三角形AOM中，若设Q(x,y)，则M(xa,yb)．22222由OMAMOA，即(xa)2(yb)21[(xa)2(yb)2]r2，224也即x2y22r2(a2b2)，这便是Q的轨迹方程．解法二：设Q(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x12y12r2，x22y22r2．22又PQAB，即(xa)2(yb)2(x1x2)2(y1y2)22r22(x1x2y1y2)．①又AB与PQ的中点重合，故xax1x2，yby1y2，即(xa)2(yb)22r22(x1x2y1y2)②①＋②，有x2y222(a2b2)．r这就是所求的轨迹方程．解法三：设A(rcos,rsin)、B(rcos,rsin)、Q(x,y)，由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有xarcosrcos，①ybrsinrsin，②又由PAPB有rsinbrsinb1③rcosarcosa联立①、②、③消去、，即可得Q点的轨迹方程为x2y22r2(a2b2)．说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法---------word范文---- -----.二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了x1、x2、y1、y2四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆x2y2r2的参数方程，只涉及到两个参数、，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．练习：1、由动点P向圆x2y21引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程是.解：设P(x,y).∵APB=600，∴OPA=300.∵OAAP，∴OP2OA2，∴x2y22，化简得x2y24，∴动点P的轨迹方程是x2y24.练习巩固：设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为P(x,y).由PAa(a0)，得(xc)2y2PBc)2a，(xy2化简得(1a2)x2(1a2)y22(1a2)xc2(1a2)0.c当a1时，化简得x2y22c(1a2)xc20，整理得(x1a2c)2y2(2ac)2；1a2a21a21当a1时，化简得x0.所以当a1时，P点的轨迹是以(1a2c,0)为圆心，2ac为半径的圆；a212a1当a1时，P点的轨迹是y轴.2、已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA2PB，则点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的坐标是(x,y).由PA2PB，得(x2)2y22(x1)2y2，化简得(x2)2y24，∴点P的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为4.------------- -----word范文---- -----.4、已知定点B(3,0)，点A在圆x2y21上运动，M是线段AB上的一点，且AM1MB，3问点M的轨迹是什么？解：设M(x,y),A(x1,y1).∵AM1MB，∴(xx1,yy1)1(3x,y)，33xx11(3x)x14x1∴31y，∴3.∵点A在圆x2y21上运动，∴x12y121，∴yy1y14y33(4x1)2(4y)21，即(x3)2y29，∴点M的轨迹方程是(x3)2y29.33416416例5、已知定点B(3,0)，点A在圆x2y21上运动，AOB的平分线交AB于点M，则点M的轨迹方程是.解：设M(,),(,y1).∵OM是AOB的平分线，∴AMOA1，∴AM1xyAx1MBOB3MB.由变式31可得点M的轨迹方程是(x3)2y29.416练习巩固：已知直线ykx1与圆x2y24相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程.解：设P(x,y)，AB的中点为M.∵OAPB是平行四边形，∴M是OP的中点，∴点M的坐标为(x,y)，且OMAB.∵直线ykx1经过定点C(0,1)，∴OMCM，∴22OMCM(x,y)(x,y1)(x)2y(y1)0，化简得x2(y1)21.∴点P的轨迹方程是2222222x2(y1)21.类型九：圆的综合应用例25、已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于P、Q两点，O为原点，且OPOQ，求实数m的值．分析：设P、Q两点的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)，则由kOPkOQ1，可得x1x2y1y20，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为y，由直线l与圆的方x---------word范文---- -----.程构造以y为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出kOPkOQ的值，从而使问题得以解决．x解法一：设点P、Q的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)．一方面，由OPOQ，得kOPkOQy1y21，也即：x1x2y1y20．①1，即x2x1(x1,y1)、(x2x2y30x1、x2是方另一方面，,y2)是方程组y2x6y的实数解，即x2m0---------程5x210x4270②m的两个根．∴x1x24m272，x1x25．③又P、Q在直线x2y30上，∴y1y21(3x1)1(3x2)1[93(x1x2)224将③代入，得y1y2m12．④5将③、④代入①，解得m3，代入方程②，检验∴m3．x1x2]．0成立，---------解法二：由直线方程可得3x2y，代入圆的方程x2y2x6ym0，有x2y21(x2y)(x6y)m(x2y)20，39整理，得(12m)x24(m3)xy(4m27)y20．由于x0，故可得(4m27)(y)24(m3)y12m0．xx∴kOP，kOQ是上述方程两根．故kOPkOQ1．得12m1，解得m3．4m27经检验可知m3为所求．说明：求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在．解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于y的二次x齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．---------word范文---- -----.例26、已知对于圆x2(y1)21上任一点P(x,y)，不等式xym0恒成立，求实数m的取值范围．分析一：为了使不等式xym0恒成立，即使xym恒成立，只须使(xy)minm就行了．因此只要求出xy的最小值，m的范围就可求得．解法一：令uxy，xyu由(y1)21x2得：2y22(u1)yu20∵0且4(u1)28u2，∴4(u22u1)0．即u22u1)0，∴12u12，∴umin12，即(xy)min12又xym0恒成立即xym恒成立．∴(xy)min12m成立，∴m21．分析二：设圆上一点P(cos,1sin)[因为这时P点坐标满足方程x2(y1)21]问题转化为利用三解问题来解．解法二：设圆x2(y1)21上任一点P(cos,1sin)[0,2)∴xcos，y1sin∵xym0恒成立∴cos1sinm0即m(1cossin)恒成立．∴只须m不小于(1cossin)的最大值．设u(sincos)12sin()14∴umax21即m21．说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆(xa)2(yb)2r2上的---------word范文---- -----.点设为(arcos,brsin)([0,2))．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．例27有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍．已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法．解：以A、B所确定的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．∵AB10，∴A(5,0)，B(5,0)．设某地P的坐标为(x,y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/公里，B地的运费为a元/公里．因为P地居民购货总费用满足条件：价格＋A地运费≤价格＋B地的运费即：3a(x5)2y2a(x5)2y2．∵a0，∴3(x5)2y2(x5)2y2化简整理得：(x25)2y2(15)244∴以点(25,0)为圆心15为半径的圆是两地购货的分界线．44圆内的居民从A地购货便宜，圆外的居民从B地购货便宜，圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等．因此可随意从A、B两地之一购货．说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。欢迎您的光临，word文档下载后可以修改编辑。双击可以删除页眉页脚。谢谢！单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善---------word范文----