《圆的标准方程》教学案例设计一.教学设想圆的标准方程处于数学必修2中的最后一章的第一节，它位于曲线的方程和方程之后，是求具体曲线的方程，研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用，是本章的核心概念,也是解析几何中的基本概念。圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的。但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。本节通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，在探究过程中，教师着眼于“导”，采用问题驱动的形式，激发学生的求知欲望；学生着眼与“探”，通过探究发现规律，发展探索能力和创造能力。通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求解的过程。二．教学目标：1．知识与技能目标通过圆的本身特性，用代数的语言描述它，用代数的工具解决它的问题。进一步体现解析几何的思想和待定系数法的应用。2．过程与方法目标在回忆直线方程的基础上，用方程语言刻画圆的特征，通过具体例题，思考、探究练习中的问题，再用所学的知识解决一个实际问题。做到学以致用。6
3．情感、态度与价值观目标培养学生联系旧知识、提出问题、解决问题的探究能力，进一步提高学生学习数学的兴趣。三．教学重点1.对圆的方程的理解；2.待定系数法求圆的方程。四．教学难点待定系数法的掌握和应用。五．教学方法：引导法、讨论法、讲授法六．教学手段：多媒体七．课时安排：一课时八．教学过程1、导入：（多媒体课件显示图片）生活中的圆。提问：什么是圆，我们初中时怎么给圆下的定义？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆。定点是圆心，定长是圆的半径。圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．现在我们求以C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程2、新课：首先我们建立一个直角坐标系，设点M（x，y）是圆上任意一点，那点M在圆上的条件是|MC|=r，那么由我们已经学过的两点间的距离公式，所说条件可以转化为方程表示：将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2．(1)显然，圆上任意一点M的坐标（x，y）适合方程（1）；如果平面上一点M的坐标（x，y）适合方程（1），可得|MC|=r，则点M在圆上。所以方程(1)是以C(a，b)为圆心、r为半径的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程.6
那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特点？思考一下当圆心在原点时，x轴上，y轴上时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．且当圆心在原点即C(0，0)时，方程为x2+y2=r2圆心在轴上时：圆心在轴上时：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．观察这个标准方程，总结一下它的特点：（1）有两个变量x,y，形式都是与某个实数差的平方；（2）两个变量的系数都是1；（3）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。3、练习我们对于刚才的结论做一些相应的练习，加深影响：练习1：根据已知条件写出下列圆的方程：圆心坐标为（-2，1），半径为3；圆心为（2，-1），且过点（3，3）；圆心为（3，1），且与直线3x-4y-6=0相切。练习2：根据下列方程，指出圆的圆心位置以及半径：（1）（2）注意：这里的a，并不一定是半径，半径应该是|a|.练习3：判断下列点是否在圆上：（1）A（3，0）（2）B（1,1）(3)C(2,-2)再问：不在圆上的点是在圆内还是圆外？如何判定？6
要时刻注意圆的标准方程的形式是有其重要的几何意义的，它的左边就表示到圆心距离的平方，所以，将点的坐标代入圆的方程，如果坐标等于右边，则在圆上，若左边大于右边，则说明距离原点的距离大于半径，一定是在圆外，若左边小于右边，则在圆内，即：点（x,y）在圆上；点（x,y）在圆外；点（x,y）在圆内。4、思考如何确定一个圆？除了刚才所说的一个圆心和半径，还有什么？几个点可以确定一个圆？三个不在同一条直线上的点可以确定一个圆。那么给出三个点的坐标：例1：已知A(5,1),B(7,-3)，C(2,8)，则写出过这三个点的圆的方程。分析：相当于求三角形ABC的外接圆的方程。要想写出方程，必须知道圆心和半径。如何求圆心和半径呢？根据外接圆的性质，圆心应该是三条边的垂直平分线的交点，所以可以根据顶点坐标求出垂直平分线的方程，在求出平分线的交点坐标即圆心坐标，在根据两点间距离公式求半径的长度。当然这样做虽然很麻烦，但毕竟我们用我们以前所学的知识找到了解决问题的办法。那么现在再想想，有没有别的出路？要求圆的方程，不如先设出它的方程来，再解出未知数。设该圆的方程为：，根据条件，三个点的坐标都满足该方程，列出式子，解出未知数：a,b,r即可。解：设该圆的方程为，则解出：a=2,b=-3,r=5所以：圆的标准方程为：6
这种方法在数学中很常见，叫做待定系数法。就是要求什么就把未知数先设出来，然后根据条件列方程解出未知数来。总结就是三步：设、列、解。这种方法易于思考，易于列式子，难点就是解未知数时，有时会遇到困难，这就需要同学们有扎实的计算和观察能力，也需要同学们平时多多练习，数学总是熟能生巧的。再来思考一道更加复杂一些的题目：例2：已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)且圆心C在直线L:x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。分析：1、利用图像的性质，圆心一定在线段AB的垂直平分线上，又已知在直线L上，所以先求出AB的垂直平分线方程，和直线L的方程联立，解出圆心坐标，在计算出半径，即可写出圆的标准方程。这叫数形结合法。2、那么利用我们刚才所学的待定系数法可以解决问题吗？设出圆的方程，已知两点坐标代入得到两个方程，又将圆心代入直线L的方程列一个方程，三个方程，三个未知数，解出即可。5、应用下面我们来看一个实际的问题，大家都知道我国著名的赵州桥，建于1500年，单圆拱石桥，全长64.4米，最大圆拱跨径37.4米，拱高7.2米。设计思想和建造工艺事世界石拱桥的卓越典范，它的建造是中国古代数学、物理学、工程学的结晶，体现了中国古代劳动人民的智慧和力量。你能确定圆拱所属圆的圆心和半径吗？我们把它抽象成简单的数学模型：6
在此基础上建立坐标系，根据已知条件可以得到A,B,C,D点的坐标，则利用待定系数法便可解出未知数，求出圆心坐标以及半径。6、小结我们今天主要学习了圆的标准方程，以及如何判断点与圆的位置关系，如何根据已知条件求出圆的方程，在练习过程中我们还学习到了一种常用的数学方法：待定系数法，并通过练习感受到了它的作用。五．作业设计六．教后反思通过本节课的学习，学生们对圆的标准方程的掌握还是达到目标的，对于待定系数法的应用，还需要进一步的练习才能熟练掌握，另外对于含字母的标准方程，描述它的圆心和半径时还有一部分同学忘记半径为正数的特点，在以后的教学过程中需要再次强调。6
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