高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 学案

4.1.1 圆的标准方程目标定位 1.探索并掌握圆的标准方程的特点，会根据圆的方程求出圆心坐标和半径.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.会用待定系数法求圆的方程.自主预习1.圆的定义及圆的标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径.(2)圆的标准方程2.点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|>r，则点M在圆外；若|CM|r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)224，故点P在圆外.答案 A类型二 求圆的标准方程(互动探究)【例2】求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程. [思路探究]探究点一 如何确定该圆圆心？提示 由已知该圆圆心为线段AB的垂直平分线与直线x＋y－2＝0的交点，可通过解方程组求出圆心坐标.探究点二 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是什么？提示 (1)根据题意，设出标准方程；(2)根据条件，列关于a，b，r的方程组；(3)解出a，b，r，代入标准方程.解 法一 设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a，2－a).又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴＝，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二 由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由得即圆心为(1，1)，圆的半径为＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.规律方法 直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.【训练2】以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是(  )A.(x－1)2＋(y－2)2＝10B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x－1)2＋(y－2)2＝5D.(x－1)2＋(y－2)2＝25解析 ∵点A(－3，－1)和B(5，5)的中点坐标为(1，2)，∴以A、B为直径的圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝5.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.答案 D 类型三 圆的方程的综合应用【例3】已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.解 (1)由已知，得C(3，0)r＝＝2∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4(2)圆心C到直线x－y＋1的距离d＝＝2＞2.∴P到直线的最大距离为2＋2，最小距离为2－2.规律方法 解答本题应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题.【训练3】已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.解 设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.[课堂小结]1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(  )A.(－2，3)，1B.(2，－3)，3C.(－2，3)，D.(2，－3)，解析 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.答案 D 2.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(  )A.－1＜a＜1B.0＜a＜1C.a＜－1或a＞1D.a＝±1解析 ∵(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴2a2＋2＜4，∴a2＜1，∴－1＜a＜1.答案 A3.已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________.解析 C1圆心为(5，3)，C2圆心为(2，－1)，则d＝＝5.答案 54.求满足下列条件的圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)圆心坐标为(3，4)，半径是；(3)经过点(5，1)，圆心坐标为(8，－3).解 (1)x2＋y2＝9.(2)(x－3)2＋(y－4)2＝5.(3)∵圆的半径r＝＝5，圆心在点(8，－3)，∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.基础过关1.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(  )A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9解析 由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.答案 D2.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(  )A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0D.x－y＋3＝0解析 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.答案 D 3.若点(4a－1，3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是(  )A.－＜a＜B.－1＜a＜1C.－≤a≤D.－1≤a≤1解析 由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25.∴a2≤1，∴|a|≤1，即－1≤a≤1.答案 D4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为________.解析 设圆心(0，b)，设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝1，把(1，2)代入得12＋(2－b)2＝1，∴b＝2.∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案 x2＋(y－2)2＝15.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________.解析 由题意知圆C的圆心为(0，1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.答案 x2＋(y－1)2＝16.已知圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝10，试判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆C的位置关系.解 圆心C(5，6)，半径r＝.|CM|＝＝，|CN|＝＝＞，|CQ|＝＝3＜.因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.7.已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1).(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程.解 (1)PQ的方程为x＋y－1＝0，PQ中点M，kPQ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y＝x.(2)由条件设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝1.由圆过P，Q点得：解得或 所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.能力提升8.若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 (－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a0，即－a>0，－b