北京外国语大学附属中学课题名称：2.3.1圆的标准方程教师姓名：宋丽荣学校：北京外国语大学附属中学年级：高二年级科目：数学学段：必修2书名：普通高中课程标准实验教科书数学必修2（B版）指导思想与理论依据在尊重教师主导作用的同时，更加注重培育学生的主动精神，鼓励学生的创造性思维。1．建构主义学习理论：建构主义的兴起极大地转变了人们的数学教育观念，尤其是其学习观。建构主义的学习观认为：（1）学习是学习者主动地建构内部心理表征的过程。学习者以已有认知结构为基础，对信息进行主动选择、推理、判断，从而建构起关于事物及其过程的表征。（2）学习过程是一个双向建构的活动过程。建构有两方面的含义：第一，对新信息的理解是借助已有经验，超越所提供的新信息而建构的；第二，从已有认知结构中提取的相关信息也要按具体情况进行建构。（3）学习者已有发展水平是学习的决定因素。不同的人看到的是事物的不同方面，不存在对事物的唯一标准的理解。2．数学教育建构观：（1）学习数学是主体对数学知识的认识过程，学生的数学学习活动不能只限于接受、记忆、模仿练习等被动的吸收过程，而应是在教师指导下的主动建构学习的过程。（2）这个建构过程依赖于认识主体已有的认知结构，因此必须具有个体的特殊性，同时，数学知识的建构主要是一个“顺应”的过程。3．新课程的基本理念：（1）倡导积极主动、勇于探索的学习方式（2）注重提高学生的数学思维能力（3）发展学生的数学应用意识教学背景分析（一）本课时教学内容的地位和作用1、必修2在高中数学中的地位和作用：数学是研究空间形式和数量关系的科学，几何是高中数学的一条主线。必修2介绍了研究几何的两个重要方法，第一章立体几何初步是直接依据几何图形中点、直线、平面的关系研究几何图形的性质。从而培养学生的空间想象力以及合情推理和演绎推理的能力；第二章解析几何初步是借助直角坐标系，用代数的方法研究几何图形的性质，其主要研究的问题是根据已知条件，求出表示平面曲线的方程以及通过方程研究平面曲线的性质。初步培养学生运用代数方法解决几何问题的能力。2、解析几何初步在解析几何中的地位和作用在高中数学课程设计中，分别在必修、选修课程中安排了平面解析几何初步，圆锥曲线与方程，坐标系与参数方程三部分内容进行解析几何的教学，这种螺旋式上升的教学安排，体现了基础性、选择性的新课程理念的和谐统一。对于解析几何我们重点研究了五种曲线：直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线，它们承担的主要教育价值和功能是，让学生学会，通过坐标系，建立数与形的联系，从代数角度研究几何，即用坐标法来研究几何图形。第二章平面解析几何初步则是以学生孰知的直线和圆为载体，初步学习解析几何的基本思想方法：即在教学过程中首先要帮助学生经历将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。在过程中体会数形结合的思想，也为在选修中用代数方法研究圆锥曲线做了铺垫。6
北京外国语大学附属中学3、本节《圆的方程》在本章中的地位作用在本节前已经学习了直线方程，初步体会了用代数方法研究直线的性质和直线间的相互关系。即学生已经了解了建立坐标系，运用代数方法研究几何问题的坐标法，在本节中将以圆为载体进一步深化学生对几何问题代数化方法的理解。本节课是要通过圆的标准方程的学习，让学生达到初步掌握坐标法，并自觉运用到研究解决几何问题中。圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在解析几何中起着承前启后的作用.（二）学生情况分析本班学生基础一般，他们的理解能力和计算能力一般，但对研究数学中几何问题有较强的求知欲。学生知识储备：1、学生在初中已学习过通过建立直角坐标系，把点和有序数对建立一一对应的关系，并在本章第一节中推导出了解析几何常用的基本公式，认识到把几何问题转化为代数问题是研究几何问题的一种方法。在本章第二节直线的方程的学习中，学生已经初步体会如何把几何问题转化成代数问题，都为本节继续以圆为载体进一步研究它的代数表达--方程，做了铺垫。2、学生初中对直线和圆从几何的角度系统研究过，而且借助有关定理运用综合法对几何性质研究得比较透彻。其中对于点定圆问题（包括过一个点，过两个点，过三个点）从形上已有认识，但要从解析几何的角度让学生再认识这些问题，给出形的代数解释，会比较困难，因此需要教师引导学生学会用代数语言表达几何关系。（三）教学方法本节通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以启发式教学法为主，以讲练结合法、谈话法等展开教学。为了充分调动学生学习的积极性，采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上。在探究过程中，教师着眼于“导”，采用问题驱动的形式，激发学生的求知欲望；学生着眼于“探”，通过探究发现规律，发展探索能力和创造能力。（四）教学资源多媒体，几何画板教学目标知识与技能目标:建立圆的标准方程并初步运用圆的标准方程解决简单的问题。过程与方法目标:1、在经历建立圆的标准方程的过程中，再一次运用将几何对象转化为代数形式的方法。2、进一步理解数形结合的方法。情感态度与价值观目标:在学生认识圆与圆的方程的关系的过程中，进一步感受数与形的和谐美。教学重点与难点教学重点：掌握圆的标准方程及其推导，体会用代数方法处理几何问题的方法。教学难点：进一步理解解析几何的思想。6
北京外国语大学附属中学教学流程结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：第一个环节：圆的标准方程推导——5分钟左右在建立圆的标准方程的过程中，让学生体会几何特征代数化的方法。第二个环节：圆的标准方程解读——10分钟左右通过解读圆的标准方程，揭示曲线与方程的本质关系，同时深化学生对圆的标准方程的理解，认识因何称其为标准方程。第三个环节：圆的标准方程应用——20分钟左右通过引导学生从代数角度再认识以点定圆的系列问题，进一步强化学生对圆的标准方程的精致化理解，体会解析几何的思维特征。归纳小结：知识背后的思想与方法——2分钟左右学习历程的回顾，知识的盘点，方法的小结给你印象最深的环节和内容是什么？让你收获了哪些知识和思想方法？教学过程教学步骤教师活动学生活动设计意图一、温故知新，复习引入引导学生回顾：在上一节课中我们学习了直线的方程，以直线为载体初步体会了解析几何的基本思想方法，我们所熟悉的另一个几何图形圆有方程吗？我们可以类比直线方程一样认识圆的方程.学生的回答可能是有、没有、不确定。为了激发学生主动用坐标法研究圆的意识，直接提出问题，提高学习兴趣，引导学生学习圆的方程。二、提出问题，探究方程问题1、什么叫圆？圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。解读：平面内定点定长问题2、确定圆需要哪几个要素？圆心－－确定圆的位置(定位)半径－－确定圆的大小(定形)问题3、如何得到圆的方程？圆的标准方程的推导已知圆心为，半径为，求圆的标准方程？建系---设点---找几何条件---列式---化简—验证学生回忆初中对圆是怎样定义的，并在教师的引导下从两方面去阐述。学生类比建立直线方程的过程，建立圆的方程。通过教师画圆演示，由静到动，加强学生对圆的几何特性的把握，从而为后面顺利利用坐标法探究圆的方程做铺垫。圆的标准方程的推导是本节课的一个重点，其推导方法也是求轨迹方程的一个基本方法。让学生在求直线方程的基础上再次亲历求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、证明，体会数形结合的思想，可加深对知识的理解并逐步提高几何问题代数化的能力。6
北京外国语大学附属中学三、深化认识，理解方程圆的标准方程其中为圆心，（）为半径如果圆心在原点，则有问题1、从圆的标准方程中能看到圆的哪些几何特征？练习1：根据圆的标准方程说出圆心和半径（1）（2）（3）（4）（5）变式：下列方程是圆的方程吗？（1）（2）小结：你认为在由圆的方程读圆的几何特征时，有什么要小心出错的地方？问题2、确定圆的方程需要哪些条件？练习2、根据下列条件，求圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心是（3，－4），半径是；并判断点（4，-3）是否在这个圆上。学生积极思考为什么把圆周上任意一点设成字母？圆的方程和圆上的点怎样建立联系？学生积极回答问题学生积极配合思考回答有关问题让学生从曲线与方程的观点认识圆，建立方程对应的圆与圆的方程的联系（点解与解集），弄清作为几何图形的圆和其代数表达的方程之间的联系，即数与形的联系。通过问题1的分析让学生能够根据圆的标准方程，熟练准确地求出它的圆心和半径。让学生从圆的方程的代数角度认识圆的几何性质。从而更好的实现对“标准”的认识。问题2让学生了解如何确定圆的方程。圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要，，三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件。所以，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决。6
北京外国语大学附属中学四、典例分析，知识应用问题1、只已知圆心，能确定一个圆吗？例1、根据以下条件求圆的方程（1）圆心在点，并过点；问题2、只已知半径，能确定一个圆吗？已知半径且过一点能确定一个圆吗？如，圆经过点，半径为；已知半径且过两个点能确定一个圆吗？（2）过点和，半径为；学生动笔画圆，思考圆的方程形式学生完成练习（两种方法）学生思考动圆的几何特征，尝试从代数的角度解读几何特征。让学生尝试用代数角度解释几何特征让学生建立圆上的点（形）和方程的解（数）之间的联系让学生想象这些圆的位置？圆心都在一个定圆上，在代数上如何解释？思考答案为何有两个圆？已知半径且过两个点的圆，何时圆是确定的？何时不是，不是的时候这些圆心有何特征？在代数上如何解释？四、典例分析，知识应用问题3、过三个点能否确定一个圆？例2、的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程思考：过四个点能确定一个圆吗？学生积极思考学生初中就知道不共线三点定圆的结果，但是此处要求学生会代数解释。五、回顾反思，归纳小结通过本节课的学习你对圆的方程有了哪些认识？1、圆的标准方程2、解析几何的基本思想方法提炼学生小结学生在回顾小结的过程中，将所学知识条理化，系统化，使自己的认知结构更趋合理，使学生逐步把经验内化为能力。六、布置作业，课后反馈1、阅读书上95页例3。2、完成课本96页练习B，其中对于1（1）已知点，圆以线段AB为直径，用多种方法求圆的方程。完成作业课后作业1培养学生阅读能力，提高应用意识。课后作业2让学生进一步体会数与形的对应关系6
北京外国语大学附属中学学习效果评价设计评价方式评价主体评价对象评价时间评价方法评价目标学生学习过程课后对一天学习的态度，学习的效果做出反思，给出自我评价．转变学生学习方式．教师思考习惯课堂上通过激励性的语言赞赏独特的、理性的、深刻的思维．培养爱思考的班级氛围，鼓励大胆思考，勇敢表达．教师作业质量批阅作业根据作业反映出的思考的态度、表达的规范、计算的正确率给出三个分数．端正态度，提升作业质量．教师学习效果次日课堂课前目标检测100分制，及时反馈学生的学习状况。关注落实，不断进取．教学设计特色说明与教学反思在本节课的教学设计中，我精心制作了小视屏，课前小预备时间通过小视屏的引入激发学生的学习兴趣。开始上课后，首先利用直线内容的学习快速过渡引入本节课要探究圆的方程，为后面的教学节省宝贵的时间。然后通过对圆的标准方程的教学分析和学情分析，设计了如下三个学习活动：（1）建立圆的标准方程的过程中，让学生体会几何特征代数化的方法；（2）精致化解读圆的标准方程，揭示曲线与方程的本质关系；（3）引导学生从代数角度再认识以点定圆的系列问题，体会解析几何的思维特征。第一个环节正是因为引导学生从几何的角度准确理解了圆的几何意义或特征，后面学生才能够更好的从代数的角度去理解曲线的方程和方程的曲线的真正的意义。第二个环节，推导出圆的标准方程后不是急于应用解题，而是让学生从曲线与方程的高度，解析几何的角度认识方程，理解因何称其为标准方程，并设计了一组有层次有梯度的练习，让学生再次实现对标准的认识。第三个环节最大的亮点是：载体的选择。不是简单的例题，而是一系列的问题！基于目标定位，我设计了一系列问题，希望在问题的思考与解决中，让学生体会“以形启数，以数论形”的解析思维。让学生学会用代数的眼光来看学生已有的平面几何中简单的关于圆的认识，在点定圆的问题中体会数与形的对应。在每一个活动中，都着重渗透解析几何思想方法，引导学生做深入地思考，使学生认识到在解题过程中关注代数结果的几何含义的意义，并为接下来研究圆锥曲线打下基础，使本节的研究成为解析几何研究的有机的一个部分。6
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