复习课：圆的标准方程和一般方程教学目标重点：掌握圆的标准方程和一般方程，能根据题目条件选择恰当的形式求圆的方程，理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，并能互化.灵活运用圆的几何性质解决问题.了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.难点：与圆有关的综合题的求解方法.能力点：等价转化的数学思想、数形结合的数学思想的应用,逻辑推理能力的培养和训练.自主探究点：了解参数方程的概念，理解圆的参数方程,利用参数方程解决求最值问题.易错点：运算出现错误，对问题分析不全面导致漏解.学法与教具1.学法：学生动脑、动手总结规律,梳理知识，解决问题.2.教具：投影仪.一、【知识梳理】1.圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件：如三个点,半径和圆心(两个坐标)等.2.圆的方程(1)标准式：，其中为圆的半径，为圆心.(2)一般式：，其中圆心为，半径为.(3)过圆与直线（或圆）交点的圆系方程：i)，ii)(时为一条过两圆交点的直线，该方程不包括圆C2）(4)二元二次方程表示圆的充要条件：.二、【范例导航】题型1：求圆的方程【例1】(1)求经过点,圆心在直线上的圆的方程;(2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆方程.【分析】本题可以设圆的标准方程，建立关于圆心和半径的三个方程构成的方程组.【解析】（1）解法一：设圆的标准方程为根据题意可得，解得
所求圆的方程为.解法二：因为圆过两点，所以圆心在线段的中垂线上，又因为圆心在直线上，联立解得.进而求得圆的半径，圆方程为：.(2)因为圆与轴相切，且圆心在直线上，故圆方程可设为又因为直线截圆得弦长为，则有，解得，故所求圆方程为：或【点评】求圆的方程时，根据题目条件选择合适的方程形式，同时注意圆的几何性质的充分利用，如在第（1）问解法二中，利用圆心在线段的中垂线上，可以使简化运算.第（2）问求解时注意两组结果.变式训练：求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程.【解析】由题意，设所求圆的方程为圆．圆与直线相切，且半径为4，所以圆心的坐标为或．又已知圆的圆心的坐标为，半径为3．若两圆相切，则两圆心之间的距离或.(1)当时，，或(无解)，故可得.∴所求圆方程为或．(2)当时，，或(无解)，故．∴所求圆的方程为或．【点评】对本题，易发生以下误解：(1)忽略圆心在轴下方的情形，（2）只考虑两圆相外切的情况.题型2：轨迹问题【例2】（1）已知点与两个定点的距离的比为，求点的轨迹方程.(2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段
的中点的轨迹方程.【分析】第（1）问用直接法求轨迹方程，第（2）问用相关点代入法求轨迹方程，所得轨迹都是圆.【解析】（1）设所求轨迹上任意一点根据题意：，即：，即，故所求轨迹方程为：.（2）设的中点，点，则，得,又因为在圆周上运动，故可得：，所求轨迹方程为：.【点评】本题是比较简单的两道题目，分别用了直接法和相关点代入法求轨迹方程，旨在让学生复习求轨迹方程的方法，同时更进一步了解哪些点的运动轨迹是圆。变式训练：有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离地的运费是地的运费的3倍．已知、两地距离为10公里，顾客选择地或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．【解析】以、所确定的直线为轴，的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．∵，∴，．设某地，且地居民选择地购买商品便宜，并设地的运费为元/公里，地的运费为元/公里．因为地居民购货总费用满足条件：价格＋地运费≤价格＋地的运费即：．∵，∴化简整理得：∴以点为圆心为半径的圆是两地购的分界线．圆内的居民从地购货便宜，圆外的居民从地购货便宜，圆上的居民从、两地购货的总费用相等．因此可随意从、两地之一购货．题型3：圆中的最值问题【例3】(1)圆上的点到直线
的最大距离与最小距离的差是.(2)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．【分析】两道小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．【解析】（1）∵圆的圆心为，半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.（2）解法一：由圆的标准方程．可设圆的参数方程为（是参数）．则=.所以，．解法二：圆上的点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上的点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．所以，．变式训练：已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．【解析】解法一：由得圆的参数方程：是参数．则．令，得，.所以,解得：.
所以．即的最大值为，最小值为．此时.所以的最大值为，最小值为．解法二：设，则．由于是圆上点，当直线与圆有交点时，两条切线的斜率分别是最大、最小值．由，得．所以的最大值为，最小值为．令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．由，得．所以的最大值为，最小值为．【点评】这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．题型4：圆中的对称问题GOBNMyAx图3CA’【例4】自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切.（1）求光线和反射光线所在的直线方程．（2）光线自到切点所经过的路程．【分析】(2)根据对称关系，首先求出点的对称点坐标,再求过与圆相切的直线.【解析】点的对称点的坐标为，设过的圆的切线方程为,由，求出圆的切线的斜率为或
故反射光线所在的直线的方程为或因为入射光与反射光关于轴对称，所以入射光所在直线方程为或光路的距离为，可由勾股定理求得．【点评】本题亦可把圆对称到轴下方，再求解.充分利用圆的对称性，可以使问题简化.变式训练：圆关于直线对称的圆的方程.答案三、【解法小结】1.求圆的方程：主要用待定系数法，可以用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径；或是利用圆的一般方程求出系数D、E、F的值.一般地，当给出条件是圆上几点坐标时，可以考虑用一般方程，当已知圆心坐标或者是圆心在某条直线上以及与某条直线相切时，可设标准方程.2.已知圆经过两已知圆的交点，求圆的方程，可用经过两圆交点的圆系方程简捷.3.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.四、【布置作业】1．（2012年高考（湖北文））过点的直线,将圆形区域分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（ ）A．B.C.D.2.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为()A．5B．10C．15D．203.过点的直线l与圆有两个交点，则斜率的取值范围是( )A．B．C．D．4.已知直线与圆O：相交于、两点，且，则=.5.若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧,则的值为.6.若曲线关于直线的对称曲线仍是其本身，则实数．7.（2012年高考（山东文））如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),
圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为____.8.（2012年高考（江苏））在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是____.9.设方程，若该方程表示一个圆，求的取值范围及这时圆心的轨迹方程.10.已知圆C的圆心在直线上,并且通过两圆和的交点,(1)求圆C的方程;(2)求两圆C1和C2相交弦所在的直线方程.作业答案1．A2.B3.C4..5..6.7.8.7【解析】:根据题意可知圆滚动了2单位个弧长,点P旋转了弧度,此时点的坐标为CD.另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为,且,则点P的坐标为,即.8【解析】∵圆C的方程可化为:,∴圆C的圆心为,半径为1.∵由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点;∴存在,使得成立,即.∵即为点到直线的距离,∴,解得.
∴的最大值是.9.【解析】配方得：,该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，消去，得，由得所求的轨迹方程是，注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中10【解析】(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：,即,即=0,圆心为(,),由于圆心在直线上,∴,解得,所求圆的方程为：(2)将圆和圆的方程相减得：,此即相交弦所在的直线方程.五、【教后反思】1.本部分内容在高考时主要考查圆的一般方程和标准方程的求法，结合圆的几何性质，考查数形结合的数学思想，可以单独考小题，如2012山东文，也可以结合椭圆双曲线在解答题中作为一问或者是作为进一步研究其他问题的基础出现.2.复习时立足基础知识和基本题型，既考虑通解通法的复习，同时要注意对学生能力的培养.
微信/支付宝扫码支付