高二数学圆的标准方程圆的一般方程知识精讲人教版一.本周教学内容：《解析几何》第二章第二单元§2.5圆的标准方程；§2.6圆的一般方程二.重点、难点：1.圆的定义：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹，叫做圆。这定点叫做圆的圆心，通常用C表示；这定点叫做圆的半径，通常用r表示。根据圆的定义，易导出圆的标准方程。2.圆的标准方程的导出：设圆心C（a，b），半径为r，设P（x，y）是圆C上任意一点，则（1）由标准方程易得圆心坐标及半径；反之，若已知圆心坐标及半径，易得圆的标准方程。（2）由标准方程可知，欲确定（求出）一个圆，需三个条件：a，b，r，因此在求圆的方程的时候，通常要列出关于a，b，r为未知的三个方程，求解a，b，r，再写出标准方程。事实上，上述结论可由如下方法得来：径的圆。之为点圆）的判别式）（2）圆的一般方程虽不能使圆心、半径一目了然，但它突出了一个二元二次方程在表示圆时其形式上的特征：（i）缺xy项；（ii）x2，y2系数相等。（3
）若已知圆的一般方程，只需通过配方变形，即可化为标准方程，进而求出圆心坐标及半径r。（4）欲求圆的一般方程，只需求出三个常数D、E、F。（确定一个圆的方程，需要三个独立的条件）4.点与圆的位置关系：可见，判断点与圆的位置关系，只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可。5.直线与圆的位置关系：到直线l的距离为d。①若直线l与圆C相切，则l称为圆C的切线。（已知圆C的方程，以及l经过点P(a,b)，且与圆C相切，如何求l的方程？）②若直线l与圆C相交，则l称为圆C的割线。l被圆所截得的线段AB叫做圆C的弦。|AB|。［注］在研究圆的问题时，若能注意到圆的几何性质，往往给解题带来简便的方法。【典型例题】例1.分析：所求切线PT过点P，容易想到利用点斜式建立直线方程，为此，需求出直线PT的斜率k，于是有如下解法：解法一：设切线PT的斜率为k，则该直线方程为注意到P（2，4）不在圆上（圆外），而过圆外一点的圆的切线有两条［注］若联想到直线方程的两点式，欲求切线方程，只需求出切点T的坐标。于是又有如下解法：解法二：
例2.解法一：（利用圆心到切线的距离d=圆半径r）解法二：（利用切线与连结切点、圆心的直线垂直）解法三：（利用直线与圆相切的充要条件：直线与圆的方程联立所得方程组有唯一解，即消y后所得关于x的一元二次方程的判别式为0）［注］以上三种解法是求切线方程的常用解法，其中解法一在研究有关直线与圆相切的问题中更常用，在具体情境中应选择适当的解法，以明了、简捷为原则。例3.已知圆过A（1，2），B（3，4），且在x轴上截得弦长为6，求圆C的方程。分析：注意到有两点A、B在圆上，若设圆的一般方程，则更易列方程，再由弦长为6，列出方程，联立几个方程，待定出一般方程中的系数D、E、F
，此为方法一；若注意到圆心在线段AB的中垂线上，可设出圆心坐标，列出相应的方程，求解圆心，再求圆半径，此为方法二。解法一：联立，解得：解法二：例4.分析：欲求圆之弦长，较为简捷的方法是利用半弦长、弦心距、半径之间的关系（满足勾股定理）来计算求解。解：由圆的方程可得圆心C（7，1），半径r=6［注］以上方法只适用于圆这种曲线，若直线与抛物线、椭圆、双曲线相交，求其弦长时，则还需利用如下方法：
关于x的一元二次方程的两个根。从而例5.自点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与分析：设入射光线l与x轴交于点B（t，0），则欲求l的方程，只需确定点B的位置，为此，只需利用反射光线l’与圆C相切，列出关于t的方程，求解t即可。解法一：
分析：如下图，考虑到入射光线与反射光线的对称性，易得：入射光线（的延长线）与反射光线关于x轴对称。从而入射光线必与圆C关于x轴的对称圆C’相切，于是问题转化为求经过点A且与圆C’相切的切线方程，（与例1同解法）解法二：［注］一般地，在光线的入射、反射问题中，若能充分运用对称性，则可大大地简化解题过程。（尤其简化了分析的难度）例6.设圆M满足：①截y轴所得的弦长为2，②被x轴分成的两段圆弧的弧长的比为3：1，在满足①②的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程。分析：由条件①②可得圆系的方程（指一族满足条件①②的圆）以此方程中的参数为自变量，可建立起圆心M到直线l的距离的目标函数，讨论函数的最小值，进而求得相应的圆。
解：设圆M在y轴，x轴上截得的弦分别为AB、CD由条件（2），不妨设x轴以上的圆弧与x轴以下的圆弧长度之比为3：1则易得∠CMD=90°，即△CMD为等腰直角三角形
［注］例6是1997年全国高考理科的试题，它综合考查了直线与圆的位置关系，弦长的求法，点到直线的距离，以及均值不等式的应用。象这样的综合题，第一需要扎实的基本知识与基本方法，第二，更需要冷静分析问题，处理问题的能力，才能不慌不乱，从容应对。【模拟试题】一.选择题。1.已知圆的方程为，则通过圆心的一条直线方程是（）A.B.C.D.2.方程表示圆，则a的取值范围是（）A.B.C.D.3.圆关于直线对称的圆的方程为（）A.B.C.D.4.直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为（）A.B.C.D.5.直线被圆C：所截得的弦长为（）A.8B.2C.4D.与k值无关6.当圆的面积最大时，圆心坐标为（）A.（0，-1）B.（-1，0）C.（1，-1）D.（-1，1）7.直线l：与圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定8.半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程为（）A.B.C.D.二.填空题。1.若A（-4，-5），B（6，-1），则以线段AB为直径的圆的方程是__________。2.圆心在原点，且与直线相切的圆的方程为_______________。3.若圆与x轴相切，则该圆截y轴所得的弦长是__________。4.设直线与圆C：相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线方程是___________。5.圆的最小距离为___________。三.解答题。1.一个圆经过点P（2，-1），圆心在直线上，且和直线相切，求圆的方程。
2.动圆M和定圆相外切，又和x轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程。3.若实数x，y满足，求的最大值与最小值。
[参考答案]http://www.DearEDU.com一.选择题。1.B2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.D提示：1.2.3.只需求出对称圆的圆心及半径。4.弦心距如下图，5.注意到直线，故其弦长为圆的直径。6.时，有最大值，从而圆的面积最大。代入圆方程，可求出圆心为（-1，0）。7.圆心（0，0）到直线l的距离，与圆相切。8.设所求圆的圆心为（a，b），则，且，解得，所求圆方程为。二.填空题。1.（提示：圆心是线段AB的中点，半径。）2.3.弦长为64.（提示：依已知，可知所求直线既过圆心，且与AB垂直。）5.4（提示：由平面几何知识可知，所求最小距离为圆心到直线l的距离与半径r的差。）三.解答题。
1.解：设圆心为C（），半径为r，则依题意，得：解得：即2.解：设M（x，y）定圆圆心为C（0，3），半径r=1则依题意，有化简，得：动圆圆心M的轨迹方程为3.解：，即，它表示以C（2，2）为圆心，以为半径的圆，P（x，y）是圆上的动点而则表示连结点P（x，y）与点O（0，0）的直线的斜率显然，如下图，当P与A重合时，最小；当P与B重合时，最大。设，则由解得
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