高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 教案

普通高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版]第13课时圆的标准方程教学目标（1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；（2）掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；（3）能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．教学重点圆的标准方程及其运用．教学难点圆的标准方程的推导和运用．教学过程一、问题情境1．情境：河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？2．问题：  在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？二、学生活动  回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？三、建构数学1．由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆的标准方程：一般地，设点是以为圆心，为半径的圆上的任意一点，则，由两点间距离公式，得到：即（１）；-4- 反过来，若点的坐标是方程的解，则，即，这说明点到点的距离为即点在以为圆心，为半径的圆上；2．方程叫做以为圆心，为半径的圆的标准方程；3．当圆心在原点时，圆的方程则为；特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为四、数学运用1．例题：例1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：⑴；    ⑵⑶       ⑷⑸解：（如下表）方程圆心半径例2．（１）写出圆心为，半径长为的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上；（２）求圆心是，且经过原点的圆的方程。解：（１）∵圆心为，半径长为∴该圆的标准方程为把点代入方程的左边＝右边即点的坐标适合方程，∴点是这个圆上的点；-4- 把点的坐标代入方程的左边即点坐标不适合圆的方程，∴点不在这个圆上；（２）法一：∵圆的经过坐标原点，∴圆的半径为因此所求的圆的方程为即；法二：∵圆心为∴设圆的方程为∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即即∴所求圆的标准方程为：例3．（１）求以点为圆心，并且和轴相切的的圆的标准方程；（２）已知两点，，求以线段为直径的圆的方程．解：（１）∵圆与轴相切∴该圆的半径即为圆心到轴的距离；因此圆的标准方程为；（２）∵为直径∴的中点为该圆的圆心即又∵∴∴圆的标准方程为例4．已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：将代入得即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度因此，该货车不能驶入这个隧道；思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？-4- 略解：将代入得即限高为2．练习：课本练习五、回顾小结：1．圆的标准方程及其表示的圆心和半径；2．建系思想和方程思想；六、课外作业：课本第102页习题2.2(1)第1、2、3、题．-4-