圆的标准方程和切线问题教案教学目标1．使学生掌握圆的标准方程和切线的探求过程和方法．2．通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑推理能力．3．培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质．教学重点与难点圆的标准方程和切线的求法是教学重点，圆的切线的求法是教学难点．教学过程师：前面我们学习了曲线和方程的关系，请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？生：①建立适当的直角坐标系，将曲线上任一点的坐标为(x，y)；②探求这些点的横坐标x与纵坐标y之间的关系，列出等式并化简．师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲．用这个方法我们曾经求出圆心在原点，半径为5的圆的方程，它的方程是怎样的？22生：x+y=25，师：若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？222生：x+y=r．师：你是怎样得到的？(启发地)圆上的点满足什么条件？这些条件怎样转化成圆上的点的坐标所满足的条件？生：此圆是到原点的距离等于r的点的集合，由两点间的距离公式222即x+y=r．精品学习资料可选择pdf第1页，共7页-----------------------
222师：x+y=r表示的圆的位置比较特殊，圆心在原点．有时候圆心可能不在原点，若此圆的圆心移至(a，b)点，圆的方程是怎样的？生：此圆是到点(a，b)的距离等于r的点的集合，由两点间的距离公式可得222即：(x-a)+(y-b)=r．222师：方程(x-a)+(y-b)=r叫做圆的标准方程．圆的标准方程由哪些量决定？是否可以和平面几何中有关理论联系起来？生：平面几何中，圆由圆心、半径决定，圆的方程由a、b、r决定(其中a、b是圆心的横、纵坐标，r是圆半径)．师：很好！这里再一次体现了解析几何的特点——用代数的方法研究几何问题．由此可见，要确定圆的方程，只须确定a、b、r这3个独立变量即可．请同学们思考这样一个问题：例1已知两点A(4，9)和B(6，3)，求以AB为直径的圆的方程，并且判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？师：这道题的已知、要求很明确，应怎样解？生：先求圆的方程，再判断点的位置．师：要确定圆的方程需要求什么？要不要按“四步曲”来求？生：不需要，只要根据圆的标准方程，求出圆心和半径即可．师：怎么求？生：用中点公式求圆心坐标，用两点间距离公式求半径．师：好！请具体求出．生：圆心C(a，b)是线段AB的中点，那么它的坐标为：a=5，b=6．22因此圆的方程是：(x-5)+(y-6)=10．精品学习资料可选择pdf第2页，共7页-----------------------
所以点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．222由此可见，若点P(x0，y0)在圆(x-a)+(y-b)=r上，点P的坐标与圆的方程有什么关系？P在圆外，圆内呢？222生：点P(x0，y0)在圆上(x0-a)+(y0-b)=r；222点P(x0，y0)在圆内(x0-a)+(y0-b)＜r；222点P(x0，y0)在圆外(x0-a)+(y0-b)＞r．师：这道题研究了点和圆的位置关系．试问直线和圆有哪些位置关系？生：相交、相离、相切．师：相切是直线和圆的位置关系中比较常见，也比较重要的位置关系，在解析几何中，我们研究曲线常常要求出切线的方程，你能求出这圆上一点的切线方程吗？的方程．师：你打算怎样求？生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求．师：斜率怎么求？生：⋯⋯师：已知条件有哪些？可以直接利用吗？不妨画张图看看．如精品学习资料可选择pdf第3页，共7页-----------------------
生：切线与半径OP互相垂直，故斜率互为负倒数．师：哪位同学能够具体的说一说？因为圆的切线垂直于过切点的半径，出怎样的猜想？生：⋯⋯何关系？如果看不出来，我们可以再演算两个例子试一试．谁来举例？22生：圆的方程是x+y=13，过其上一点(2，3)的切线方程是2x+3y-13=0．22生：圆的方程是x+y=5，过其上一点(-2，1)的切线方程是-2x+y-5=0．师：发现规律了吗？(学生纷纷举手回答问题)生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程．师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点(x0，y0)，结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！2生：x0x+y0y=r．师：这个猜测对不对？若对，可否给予证明？生：⋯⋯精品学习资料可选择pdf第4页，共7页-----------------------
222师：这个问题就相当于：已知圆的方程是x+y=r，求过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程．用点斜式表示方程，有什么条件？生：切线若与x轴垂直，则不能用点斜式表示．师：要求切线的斜率，需要求半径OP的斜率，OP的斜率一定存在吗？(引导学生完成解题过程)解①若切线的斜率不存在，x0=±r，y0=0，切线方程为x=r，或x=-r．②若半径的斜率不存在，y0=±r，x0=0，切线的方程为y=r，或y=-r．③若切线及半径的斜率都存在，设切线的斜率为k，经过点P的切线方程为：2亦即x0x+y0y=r．(*)2经验证：①②均适合(*)式，故切线方程为：x0x+y0y=r．222师：对照圆的方程x+y=r及点P(x0，y0)，看看切线方程与圆的方程有什么关系？2生：圆的方程可看成x·x+y·y=r，将其中一个x、y用切点的坐标x0、y0替换，可得到切线方程．222师：按照这种方法，若圆的方程是(x-a)+(y-b)=r，过其上一点(x0，y0)的切线方程会是怎样的呢？能猜到吗？2生：切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r．师：你的猜测对吗？可否给予证明？这实际上就是：已知圆的方程是精品学习资料可选择pdf第5页，共7页-----------------------
222(x-a)+(y-b)＝r，求经过圆上一点(x0，y0)的切线方程．解①若切线及半径的斜率都存在，2即(x0-a)(x-x0)+(y0-b)(y-y0)=r．(**)②若切线或OP的斜率不存在时，切线方程也是(**)式．2师：(**)式与同学猜测的结果(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r不同，是我们猜错了？还是算错了？哪里出了毛病？生：对比两个方程，凑出(x-a)项，将(**)式整理如下：[(x-a)-(x0-a)](x0-a)+[(y-b)-(y0-b)](y0-b)=0，22即：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=(x0-a)+(y0-b)．因为P在圆上，222故(x0-a)+(y0-b)=r，2所以切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r．这与同学们猜测的结果是一致的！设计思想在教学过程中，教师遵循数学本身的发展规律，同时注意到学生的认识规律，力求使它们同步协调，具体做法如下：在探询圆的标准方程的过程中，引导学生用代数的方法研究平面几何中常见的曲线——圆．从简单的、特殊的到复杂的、一般的，使用了观察、猜测、经验归纳等等合情推理的方法，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美学——对称、简洁．精品学习资料可选择pdf第6页，共7页-----------------------
222在探求圆的切线方程时，运用波利亚一般解题方法求出过圆x+y=r上一点222(x0，y0)的切线方程，同时也提出思考：若改变条件为圆(x-a)+(y-b)=r，结论将发生怎样的变化？此时引导学生通过观察、类比、联想、猜测、归纳出一般方程，并且给以证明，既教猜想，又教证明．在课堂上，运用问题性，使教学富有情趣性、激励性，同时通过问题和建议控制研究的方向与进程，通过问题和提示，帮助度过难关．精品学习资料可选择pdf第7页，共7页-----------------------
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